\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{tikz} % mahdollistaa kuvien piirtämisen latexilla tikz-ympäristössä
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{graphicx} % mahdollistaa kuvatiedostojen lisäämisen
\usepackage{pdfpages} % mahdollistaa pdf-tiedostojen lisäämisen
\usepackage{hyperref} % mahdollistaa linkkien lisäämisen

\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
 
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{flushright}
\item[FYS-1080 2015-02 Teemu Salminen 256544]
\end{flushright}
\begin{description}

\item[Tehtävä:] 1. Laske (a) $\bar{A} + \bar{B}$ (b) $\bar{A} - \bar{B}$ (c) $\bar{B} + \bar{A}$ (d) $\bar{A}\cdot\bar{B}$

\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}
   \tkzInit[xmax=2,ymax=3,xmin=-1,ymin=-2]
   \tkzGrid
   \tkzAxeXY
   \draw[ thick,-latex] (0,0) -- (1.4,2.4287) node[anchor=south west] {$\bar{A} (2.80cm)$};
   \draw[ thick,-latex] (0,0) -- (0.95,-1.64545) node[anchor=south west] {$\bar{B} (1.90cm)$};
  \end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
   \tkzInit[xmax=3,ymax=5,xmin=-1,ymin=-1]
   \tkzGrid
   \tkzAxeXY
   \draw[ thick,-latex] (0,0) -- (2.35,0.77942) node[anchor=south west] {$\bar{A}+\bar{B} = \bar{B} + \bar{A}$};
   \draw[ thick,-latex] (0,0) -- (0.45,4.07015) node[anchor=south west] {$\bar{A} - \bar{B}$};
  \end{tikzpicture}
\end{figure}
\item[Vastaus:] Lasketaan vektorien komponentit: 

$\bar{A_x} = 2.80cm*cos(60^{\circ}) = 1.40cm$, $\bar{A_y} = 2.80cm*sin(60^{\circ}) = 2.42487cm$

$\bar{B_x} = 1.90cm*cos(-60^{\circ}) = 0.95cm$, $\bar{B_y} = 1.90cm*sin(-60^{\circ}) = -1.64545cm$

(a)

$\bar{A_x}+\bar{B_x} = 1.40cm+0.95cm = 2.35cm$

$\bar{A_y}+\bar{B_y} = 2.42487cm+(-1.64545cm) = 0.77942cm$

$\bar{A}+\bar{B} = 2.35cm*\bar{i} + 0.78cm*\bar{j}$

(b)

$\bar{A_x}-\bar{B_x} = 1.40cm-0.95cm = 0.45cm$

$\bar{A_y}-\bar{B_y} = 2.42487cm-(-1.64545cm) = 4.07015cm$

$\bar{A}-\bar{B} = 0.45cm*\bar{i} + 4.07cm*\bar{j}$

(c) Vektoreille pätee vaihdantalaki, ks. kohta a.

(d)

$\bar{A}\cdot\bar{B} = |\bar{A}|*|\bar{B}|*cos(\theta)=\bar{A_x}*\bar{B_x}+\bar{A_y}*\bar{B_y}$

$2.80cm*1.90cm*cos(\theta) = 1.40cm*0.95cm + 2.42487cm*(-1.64545cm)$

$cos(\theta) = \frac{-2.660cm}{5.32cm}\Rightarrow arccos(\frac{-2.660cm}{5.32cm}) = \theta = 120^{\circ}$


\item[Tehtävä:] 2. Laske vektorien $\bar{i}+\bar{j}+\bar{k}$ ja $\bar{i}-\bar{j}-\bar{k}$ välinen kulma.
\item[Vastaus:] Sovelletaan pistetuloa, merkitään vektoreita $\bar{A}$ ja $\bar{B}$

$|\bar{A}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = 1.73205$, $|\bar{B}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = 1.73205$


$\bar{A}\cdot\bar{B} = |\bar{A}|*|\bar{B}|*cos(\theta)=\bar{A_x}*\bar{B_x}+\bar{A_y}*\bar{B_y}+\bar{A_z}*\bar{B_z}$

$1.73205*1.73205*cos(\theta)=1*1+1*(-1)+1*(-1)$

$cos(\theta) = \frac{-1}{3} \Rightarrow \theta = arccos(-\frac{1}{3}) = 109.47^{\circ}$
\newpage
\item[Tehtävä:] 3. (a) Laske auton paikka $x$ ja hetkellinen kiihtyvyys $a$ hetkinä, jolloin nopeus $v$ on nolla. (b) Piirrä auton liikkeestä kuvaajat $x-t$, $v_x-t$ ja $a_x-t$ aikavälillä $0.0\rightarrow2.0s$.

Auton sijantia ajan funktiona kuvaa $x(t)=2.17m + (4.80\frac{m}{s^2})t^2 - (0.100\frac{m}{s^6})t^6$

\item[Vastaus:] Nopeus saadaan derivoimalla funktio $x(t)$, $v(t) = x(t) \frac{d}{dt}$

$v(t) = 9.6t-0.6t^5$, Selvitetään yhtälön $v(t)$ juuret:

$0 = t(9.6-0.6t^4) \Rightarrow t=0 \vee 9.6-0.6t^4=0$

$9.6-0.6t^4 = 0 \Leftrightarrow t^4 = \frac{9.6}{0.6} \Rightarrow t =\pm \sqrt[4]{\frac{9.6}{0.6}} = \pm2$ (negatiivinen\ ei\ kelpaa) $\Rightarrow$

$t=0 \vee t=2$ 

(a)

Lasketaan auton paikka hetkinä $t=0$ ja $t=2$:

$x(0) = 2.17m+ (4.80m/s^2)*0^2 - (0.100m/s^6)*0^6 = 2.17m$

$x(2) = 2.17m+ (4.80m/s^2)*2^2 - (0.100m/s^6)*2^6 = 2.17m + 19.2m-6.4m =14.97m \approx 15.0m$

Kiihtyvyys saadaan derivoimalla funktio $v(t)$, $a(t) = v(t) \frac{d}{dt}$

$a(t)= 9.6(m/s^2) - 3(m/s^6)t^4$, lasketaan kiihtyvyys hetkinä $t=0$ ja $t=2$:

$a(0) = 9.6m/s^2 -(3m/s^6)*0^4 = 9.6 m/s^2$

$a(2) = 9.6m/s^2 -(3m/s^6)*2^4 = -38.4 m/s^2$

(b) 1. Vihreä $x(t)$, Sininen $v(t)$,

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[grid=both,
          xmax=2,ymax=15,xmin=0,ymin=-1,
          axis lines=middle,
	restrict x to domain=-0.1:2.1,
          enlargelimits]
\addplot[green]  {2.17 + (4.80*x^2 - (0.100)*x^6};
\addplot[blue]  {9.6*x-0.6*x^5};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

3. Punainen $a(t)$ 

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[grid=both,
          xmax=2,ymax=10,xmin=0,ymin=-40,
          axis lines=middle,
	restrict x to domain=-0.1:2.1,
          enlargelimits]
\addplot[red]  {9.6-3*x^4};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\newpage

\item[Tehtävä:] 4. (a) Laske pallon kiihtyvyys syötön aikana? (b) Kuinka pitkän matkan pallo kulki mailan mukana? Pallon irtaantumisnopeus on $73.14m/s$ ja kontaktiaika $30.0ms$.

\item[Vastaus:]

(a) $\Delta v = 73.14m/s, \Delta t = 30.0*10^{-3}s$

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{73.14m/s}{30.0*10^{-3}s}=2438m/s^2\approx2440m/s^2$

(b) $x=x_0+v_0*t+\frac{1}{2}*a*t^2$

$x=0+0*(30.0*10^{-3}s) + \frac{1}{2}*(2438m/s^2)*(30*10^{-3}s)^2 = 1.0971m\approx 1.10m$

\item[Tehtävä:] 5. Tiilen vapaapudotus talon katolta kestää $2.50s$. (a) Kuinka korkea tehtävän talo on? (b) Mikä on tiilen nopeus juuri ennen maahan osumista?
\ (c) Piirrä kuvaajat $a_y-t$, $v_y-t$ ja $y-t$ (putoamissuunta y).
\item[Vastaus:] Käytetään putoamiskiihtyvyytenä $a=9.87m/s^2$.

(a) $x=x_0+v_0*t+\frac{1}{2}*a*t^2$

$x=0+0*(2.50s)+\frac{1}{2}*(9.87m/s^2)*(2.50s)^2 = 30.84375m\approx 30.8m$

Matkaa katolta maahan on $30.8m$, eli talo on $30.8m$ korkea.

(b) $v=at \Rightarrow v=(9.87m/s^2)*(2.50s)=24.675m/s\approx 24.7m/s$

(c) 1. Vihreä $a_y(t)$,

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[grid=both,
          xmax=2.5,ymax=10,xmin=0,ymin=0,
          axis lines=middle,
	restrict x to domain=-0.1:2.8,
          enlargelimits]
\addplot[green]  {9.87};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

2. Sininen $v_y(t)$, Punainen $y(t)$ (etäisyys katosta)

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[grid=both,
          xmax=2.5,ymax=30,xmin=0,ymin=0,
          axis lines=middle,
	restrict x to domain=-0.1:2.8,
          enlargelimits]
\addplot[blue]  {9.87*x};
\addplot[red]  {0+0*2.5+0.5*9.87*x^2};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\newpage
\item[Tehtävä:] 6. (a) Arvioi autojen A ja B nopeuksia ja kiihtyvyyksiä hetkillä $t=0s$, $1s$ ja $3s$. (b) Millä hetkillä autot ovat samssa kohdassa? (c) Hahmottele kuvaaja $v-t$ (d) Onko nopeus sama jollakin hetkellä? (e) Ohittaako auto A auton B? Jos, niin millä hetkellä?

Huom! Tehtävämonisteessa $x-t$ kuvaaja, ohessa lähes samanlainen.

(Käytetty $A(t)=0.95*t^2+3$ ja $B(t)=4*t$)

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[grid=both,
          xmax=4,ymax=26,xmin=0,ymin=0,
          axis lines=middle,
	restrict x to domain=-0.1:5.8,
          enlargelimits]
\addplot[blue]  {4*x};
\addplot[red]  {0.95*x^2+3};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\item[Vastaus:]
(a) kun $t=0s$: $v_A = 0$, $a_A=0$ ja $v_B=4m/s$, $a_B=0$,

kun $t=1s$: $v_A = 2m/s$, $a_A=1.9m/s^2$ ja $v_B=4m/s$, $a_B=0$,

kun $t=3s$: $v_A = 5.9m/s$, $a_A=1.9m/s$ ja $v_B=4m/s$, $a_B=0$.

(b) Autot ovat samssa kohdassa kun ne ovat kulkeneet saman matkan $x$. 

Näin ollen autot ovat samoissa kohdissa hetkillä $t=0.9s$ ja $t=3.1s$

(c) kuvaaja $v-t$, Punainen auto A ja Sininen auto B

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[grid=both,
          xmax=4,ymax=10,xmin=0,ymin=0,
          axis lines=middle,
	restrict x to domain=-0.1:4.8,
          enlargelimits]
\addplot[red]  {0.95*2*x};
\addplot[blue]  {4};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
Auton A kuvaaja on suunnilleen paraabeli, joten derivaatta on suora, auton B kuvaaja on suora, joten derivaatta on vakio.

(d) Nopeus on sama kuvaajien leikkauspisteessä $t=2.1$, tämä havaitaan myös $x-t$ kuvaajassa samana kulmakertoimena.

(e) Kyllä. Hetkellä $t=3.1s$. Tämä havaitaan $x-t$ kuvaajassa leikkauspisteenä, jonka jälkeen A on B:n yläpuolella.




\end{description}
\end{document}













