%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel} 
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pdfpages}


%TÄHÄN OLISI TARKOITUS KOOTA NE LYHENTEET JOITA MA1:SSA TARVITAAN
% numeroitu yhtalo
\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
    
% operators
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm

% ENNEN TÄTÄ OLEVIIN RIVEIHIN EI TARVITSE KOSKEA
\begin{document}

\begin{description}
\item[Tehtävä: ] 
Osoita, että kaikille luonnollisille luvuille $n \in \luon$ pätee 
$
\sum_{i=1}^{n}4i=2n(n+1).
$
Tässä merkintä $\sum_{i=1}^{n}4i$ tarkoittaa summaa $\sum_{i=1}^{n}4i=4+8+12+\cdots+4n$. 
\end{description}

\begin{proof} Todistetaan väite induktiotodistuksella.
\begin{description}
\item[Alkuaskel: ] kun $n=1$ niin v.p. $\sum_{i=1}^{1} 4i=4$ ja o.p. $2\cdot1\cdot (1+1)=4$, joten väite on tosi kun $n=1$.
\item[Induktio-oletus: ] väite on tosi kun $n=k$ toisin sanoen $\sum_{i=1}^{k} 4i = 2k(k+1).$
\item[Induktioväite: ] väite on tosi myös, kun $n = k+1$ eli  $\sum_{i=1}^{k+1} 4i = 2(k+1)((k+1)+1).$
\item[Todistus induktioväitteelle: ]
Kirjoitetaan summa $\sum_{i=1}^{k+1} 4i $ kahteen osaan siten, että voidaan käyttää induktio-oletusta $\sum_{i=1}^{k} 4i = 2k(k+1)$
\eq{
\sum_{i=1}^{k+1} 4i&=2\cdot2(k+1)+\sum_{i=1}^{k} 4i\\
&\stackrel{i.o.}{=}2\cdot2(k+1)+2k(k+1)\\
&\stackrel{}{=}(k+1)4+(k+1)2k\\
&\stackrel{}{=}2(k+1)(4+k)\\
&=2(k+1)((k+1)+1).
}
\end{description}
Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi.



\end{proof}

\end{document}
















