%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pdfpages}


%TÄHÄN OLISI TARKOITUS KOOTA NE LYHENTEET JOITA MA1:SSA TARVITAAN
% numeroitu yhtalo
\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
    
% operators
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm

\title{Harjoitus 2, T5}


\begin{document}
\maketitle % tekee otsikon


\begin{description}
\item[Tehtävä: ] \

Todista kunta-aksioomia käyttäen, että $0\cdot x = x\cdot 0 = 0$ kaikilla reaaliluvuilla $x\in\mathbb{R}$.

Tässä 0 on kunta-aksioomissa aksioomassa $\bold{K3}$ mainittu yhteenlaskun neutraalialkio.
\end{description}

\begin{description}
\item[Ratkaisu: ]
\begin{proof}
\eq{
0 &\stackrel{\textbf{K4}}{=} (0\cdot x)-(0 \cdot x)\\
&\stackrel{\textbf{K3}}{=} ((0+0)\cdot x)- (0\cdot x)\\
&\stackrel{\textbf{K5}}{=} (x \cdot (0+0)) - (x \cdot 0)\\
&\stackrel{\textbf{K7}}{=} (x\cdot 0 + x\cdot 0)- (x\cdot 0)\\
&\stackrel{\textbf{K1}}{=} (x\cdot 0) - (x\cdot 0 + x\cdot 0)\\
&\stackrel{\textbf{K2}}{=} (x\cdot 0- x\cdot 0) + (x \cdot 0)\\
&\stackrel{\textbf{K4}}{=} 0 + (x\cdot 0)\\
&\stackrel{\textbf{K1}}{=} (x\cdot 0) + 0\\
&\stackrel{\textbf{K3}}{=} x\cdot 0\\
&\stackrel{\textbf{K5}}{=} 0\cdot x\\
}
\end{proof}
\end{description}


\end{document}
















