\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{tikz} % mahdollistaa kuvien piirtämisen latexilla tikz-ympäristössä
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{graphicx} % mahdollistaa kuvatiedostojen lisäämisen
\usepackage{pdfpages} % mahdollistaa pdf-tiedostojen lisäämisen
\usepackage{hyperref} % mahdollistaa linkkien lisäämisen

\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
 
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm
\usepackage{polynom}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{flushright}
\item[MAT-01160 2015-01 Teemu Salminen]
\end{flushright}
\begin{description}

\item[Tehtävä:]1. Olkoon $f : A \rightarrow B, f(x) = x^2+2$ funktio ja $B = \{y \in\mathbb{N}|y\le6\}$ \\
(a) Etsi laajin joukko $A \subset \mathbb{Z}$ ja sitä vastaava arvojoukko $R_f$.\\
(b) Määritä alkioiden 6 ja 2 alkukuvajoukot.
\item[Vastaus:] 

(a) $x^2+2 = f(x)$. Näin ollen: $f(x)=y\le6$\\
$x^2+2 \le 6 \Leftrightarrow x^2\le 4 \Rightarrow x\le2 \vee x\ge -2$ Joukko $A\subset \mathbb{Z}$ eli $A = \{-2,-1,0,1,2\}$.\\
Arvojoukko saaadaan sijoittamalla arvot funktioon $f(x)$.\\
$0^2+2=2$, $1^2+2=3$, $2^2+2=6$. Negatiiviset antavat samat arvot. Näin ollen $B= \{2,3,6\}$.\\
V: $ A = \{-2,-1,0,1,2\}, B = \{2,3,6\}$\\
(b) kun $y=6$, $x^2+2=6 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm2 \Rightarrow \{-2,2\}$\\
kun $y=2$, $x^2+2=0 \Leftrightarrow x^2=0 \Leftrightarrow x=0 \Rightarrow \{0\}$\\
\item[Tehtävä:]2. Olkoon $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x^2+5x-6$ ja $g: M_g \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = \frac{2x+3}{x-3}$ reaalifunktioita.
(a) Määritä $f^{-1}(12)$.\\
(b) Määritä funktion $g$ laajin mahdollinen määrittelyjoukko $M_g \subset \mathbb{R}$.\\
(c) Määritä $g^{-1}(0)$.
\item[Vastaus:] \

(a) $x^2+5x-6 = -12 \Leftrightarrow x^2+5x+6=0 \Rightarrow \frac{-5\pm\sqrt{5^2-4*1*6}}{2*1} \Leftrightarrow \frac{-5\pm\sqrt{1}}{2} \Leftrightarrow \frac{-5\pm1}{2} \Rightarrow$\\
$x=-3 \vee x=-2$.\\
(b) Funktiota $g$ ei ole määritelty, kun $x-3=0\Leftrightarrow x=3 \rightarrow \mathbb{R}\backslash \{3\}$\\
(c) $\frac{2x+3}{x-3} = 0 \Rightarrow 2x+3 = 0  \Leftrightarrow 2x=-3 \Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}$
\item[Tehtävä:] 3. Olkoon $f(x) = \sqrt{\frac{x+8}{x^2-2}}$ reaalifunktio.\\
(a) Mikä on $f$:n määrittelyjoukko? (b) Määritä $f(-1)$, $f(4)^{-1}$ ja $f^{-1}(1)$.\\
(c) onko $f$ injektio?
\item[Vastaus:] (a) $x^2-x \not 0 \Leftrightarrow x(x-1) \not= 0 \Rightarrow x\not=0 \vee x\not=1$ Myös $\frac{x+8}{x^2-x} \ge 0$.\\
$\frac{x+8}{x^2-x} = 0$, kun $x+8 = 0$, eli $x=-8$.\\
Merkkikaaviolla saadaan: $-8 \le x<0 \vee x>1$ Eli $M_f = [-8,0) \cup (1,\infty)$. \\
(b) $f(-1)  = \sqrt{\frac{-1+8}{(-1)^2 -(-1)}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$\\
$f(4)^{-1} = \frac{1}{f(4)} = 1 / \sqrt{\frac{4+8}{4^2-4}} = 1/ \sqrt{1} = 1$\\
$f^{-1}(1) \Rightarrow \sqrt{\frac{x+8}{x^2-x}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x+8}{x^2-x} = 1 \Leftrightarrow x+8 = x^2-x\Leftrightarrow x^2-2x-8=0$\\
$\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2 - 4*1*(-8)}}{2*1} = \frac{2\pm\sqrt{36}}{2} = \frac{2\pm6}{2}\Rightarrow x=-2 \vee x=4$\\
(c) Funktio $f$ ei ole injektio. Injektiossa jokaisella lähtöjoukon alkiolla on tasan yksi maalijoukon alkio. Esimerkiksi $f^{-1}(1)$ saa kaksi arvoa, eli kyseessä ei voi olla injektio.
\item[Tehtävä:] 4. $f(x) = x^3+1$. Laske $(f \circ f)(4)$.
\item[Vastaus:] $(f \circ f)(4) = f(f(4)) = f(4^3+1) = f(65) = 65^3 +1 = 274626$.
\newpage
\item[Tehtävä:] 6. Ohessa on funktion $f$ kuvaaja. Hahmottele kohdat $a-d$ sekä kynällä ja paperilla että Matlabilla. (a) $f(x) -2$ (b) $f(x-3)$ (c) $\frac{1}{4}f(x)$ (d) $f(-\frac{1}{2}x)$.
\item[Vastaus:] MATLAB -sivu tehtävien lopussa. %MUISTA MATLAB!!!!!!!!!!!!!!!
\item[Tehtävä:] 7. Osoita, että reaalifunktio $f(x) = x^3$ on aidosti kasvava. Derivaattaa ei saa käyttää.
\item[Vastaus:] Väite: kun $x<y$ niin $x^3<y^3$. Voidaan muuttaa muotoon $0<y-x$ ja $0<y^3-x^3$. Etsitään sopiva kerroin:\\
\polylongdiv{Y^3-X^3}{Y-X} \\
Tarkistetaan, onko $P = (x+y)^2+xy >0$ Koska $x<y$, on kolme mahdollisuutta:\\
1) $x > 0 \wedge y>0$ Jolloin $xy > 0 ja (x+y)^2 >0 \Rightarrow$ Kelpaa.\\
2) $x < 0 \wedge y>0$ Jolloin $xy <0$, mutta $(x+y)^2 >0$ Ja koska $x<y$, $y^2 > x*y \Rightarrow$ Kelpaa. \\
3)  $x<0 \wedge y\le 0$ jolloin $xy \ge 0$ ja $(x+y)^2 >0 \Rightarrow$ Kelpaa.
$x<y \Leftrightarrow 0<y-x \Rightarrow$\\
$ 0<y-x|*P \Rightarrow 0<(y-x)(y^2+xy+x^2) \Leftrightarrow 0<y^3-x^3 \Leftrightarrow x^3<y^3 \ \ \  \square$
\item[Tehtävä:] 8. Olkoon $f:[0,\infty) \rightarrow [2,\infty), f(x)=\sqrt{3x^2+4}$\\
(a) Osoita, että $f$ on bijektio ja määritä käänteisfunktion $f^{-1}(y)$ lauseke. \\ 
(b) Tarkasta laskusi laskemalla $f(f^{-1}(y)$ ja $f^{-1}(f(x))$. (c) Palauta Moodleen.
\item[Vastaus:] (a) $y=\sqrt{3x^2+4} \Leftrightarrow y^2=3x^2+4 \Rightarrow x^2 = \frac{y^2-4}{3} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{y^2-4}{3}}$\\
$\Rightarrow$ On olemassa käänteisfunktio. \\
$f^{-1}(y) = \sqrt{\frac{y^2-4}{3}} = (g \circ h)(y)$, missä $g(y) = \sqrt{y}$ ja $h(y) = \frac{y^2-4}{3}$.\\
Lause 2.15 $\Rightarrow \sqrt{y}$ on aidosti kasvava.\\
Voidaan myös havaita, että $\frac{y^2-4}{3}$ on aidosti kasvava, kun $y\ge 0$.\\
Näin ollen $f^{-1}$ on aidosti kasvava.\\
kun $y=2$ (minimi) $\rightarrow x=\sqrt{\frac{2^2-4}{3}} = \sqrt{0} = 0$. Siis, jokaisella $y\in [2,\infty)$ yhtälöllä $y=f(x)$ on täsmälleen yksi ratkaisu $x\in [0,\infty)$. $\ \  \  \  \ \square$ \\
(b) $f(f^{-1}(y)) \Leftrightarrow f(\sqrt{\frac{y^2-4}{3}}) \Leftrightarrow y= \sqrt{3*\frac{y^2-4}{3}^2+4} \Leftrightarrow y = \sqrt{y^2-4+4} = |y| = y$\\
ja $(f^{-1}(f(x)) \Leftrightarrow f^{-1}(\sqrt{3x^2+4}) \Leftrightarrow x= \sqrt{\frac{(\sqrt{3x^2+4})^2-4}{3}} \Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{3x^2+4-4}{3}} = \sqrt{x^2} = |x| = x$
\end{description}
\end{document}













