\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{tikz} % mahdollistaa kuvien piirtämisen latexilla tikz-ympäristössä
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{graphicx} % mahdollistaa kuvatiedostojen lisäämisen
\usepackage{pdfpages} % mahdollistaa pdf-tiedostojen lisäämisen
\usepackage{hyperref} % mahdollistaa linkkien lisäämisen

\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
 
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{flushright}
\item[FYS-1080 2015-02 Teemu Salminen 256544]
\end{flushright}
\begin{description}
\item[Tehtävä:] 1. Opiskelijan paino on 550N, kun hissi lähtee liikkeelle, vaaka näyttää 450N\\
(a) Mikä on hissin kiihtyvyys? (b) Mikä on kiihtyvyys kun lukema on 670N?\\
(c) Onko huolestuttavaa jos lukema on nolla (0N)? Perustele.
\item[Vastaus:]
(a) $F=ma_{tot}= m(a+g)$ Normaalitilassa $a_{tot} = g = 9.81m/s^2 \Rightarrow 550N = m* 9.81m/s^2 \Rightarrow m= 550N/9.81m/s^2 = 56.065kg \Rightarrow\\ 450N = 56.065kg * (9.81+a)m/s^2 \Rightarrow\\ 450N/56.065kg -9.81m/s^2 = a = -1.784m/s^2$ Koska $g$ on alaspäin ja positiivinen, $-1.784m/s^2$ on ylöspäin. V: $1.78m/s^2$ ja suunta ylöspäin.\\
(b) $F=ma_{tot} = m(a+g)$ Normaalipaino $m=56.065kg \Rightarrow 670N = 56.065kg*(9.81+a)m/s^2 \Rightarrow 670N/56.065kg-9.81m/s^2=a=2.140m/s^2$. Koska $g$ on alaspäin ja positiivinen, $2.140m/s^2$ on myös alaspäin.\\V: $2.14m/s^2$ ja suunta alaspäin.\\
(c) Kyllä, jos vaaka näyttää nollaa, vaa'alla seisova ihminen leijuu, eikä saa tukea vaa'asta. Näin ollen kiihtyvyys $a$ on vähintään sama kuin $g$ (vaaka ei näytä negatiivisia). Henkilöhisseissä tällaista kiihtyvyyttä tuskin on normaalitoiminnassa, eli hissi voi olla esimerkiksi vapaapudotuksessa.
\item[Tehtävä:] 2. Keinogravitaatio luodaan pyörimisliikkeellä. (a) Kuinka monta kierrosta minuutissa $800m$ säteisen avaruusaseman on pyörittävä, jotta ulkokehällä keinogravitaatio olisi $9.80m/s^2$? (b) Mikä on kierrosnopeus, jos keinogravitaatioksi tahdottaisiin $g=3.70m/s^2$?
\item[Vastaus:] Ympyräradalla ja vakionopeudella normaalikiihtyvyys $a_c$ osoittaa suoraan keskipisteeseen.\\(a) $a_c = \frac{4\pi^2R}{T^2} \Rightarrow T= \sqrt{\frac{4\pi^2R}{a_c}}$. Tässä $R=800m$ ja $a_c=9.80m/s^2$. Näin ollen $T= \sqrt{\frac{4\pi^2*800m}{9.80m/s^2}} = 56.769\frac{1}{s}\Rightarrow 56.769/60 =0.946\approx 0.9RPM$\\
(b) Tässä $R=800m$ ja $a_c=3.70m/s^2$. Näin ollen $T=\sqrt{\frac{4\pi^2*800}{3.70m/s^2}} =92.3898\frac{1}{s} \Rightarrow 92.3898/60=1.540\approx 1.5RPM$
\newpage
\item[Tehtävä:] 3. $15.0kg$:n tiilikuorma roikkuu vaijerin päässä, jonka toisessa päässä on kitkattoman rullan jännittämänä $28.0kg$:n vastapaino. (a) Piirrä kappaleille VKK:t kun systeemi päästetään liikkelle levosta. (b) Millaisen kiihtyvyyden tiilikuorma saa? (c) Millainen jännitys vaijerissa on, kun kuorma on liikkeessä? Vertaa jännitystä kappaleiden painoon.
\item[Vastaus:] (a) 
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}[scale=0.006]
   \tkzInit[xmax=1,ymax=1,xmin=-1,ymin=-7]
   \draw[ thin,|->] (0,0) -- (0,191) node[anchor=south west] {$T$};
   \draw[ thin,->] (0,0) -- (0,-9.8*15) node[anchor=south west] {$G_1$};
	\node[anchor=north east] {(Tiilikuorma)};
  \end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[scale=0.006]
   \tkzInit[xmax=1,ymax=1,xmin=-1,ymin=-7]
   \draw[ thin,|->] (0,0) -- (0,191) node[anchor=south west] {$T$};
   \draw[ thin,->] (0,0) -- (0,-9.8*28) node[anchor=south west] {$G_2$};
	\node[anchor=north west] {(Vastapaino)};
  \end{tikzpicture}
\end{figure}

(b) $m_1 = 15.0kg$, $m_2 = 28.0kg$, $g=9.8m/s^2$.\\
$G_1 = 15.0kg*9.8m/s^2=147N$\\
$G_2 = 28.0kg*9.8m/s^2=274.4N$\\
Atwoodin koneessa:\\
$a= g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} = 9.8m/s^2*\frac{15.0kg-28.0kg}{15.0kg+28.0kg}=-2.9628m/s^2$ (ylöspäin)\\
(c) $T=\frac{2g}{1/m_1+1/m_2}=\frac{2*9.8m/s^2}{1/15.0kg+1/28.0kg}=191.44N\approx 190N$\\
$2T\approx 380N$ ja $G_1+G_2\approx 420N$, Eli $T$ on pienempi kuin levossa olevien massojen jännite olisi.
\item[Tehtävä:] 4. Lentokone tekee pystytasoisen silmukan 150m kaarevuussäteellä. Lentäjän pää osoittaa kokoajan kohti keskipistettä. Nopeus vaihtelee huipun hitaimman ja pohjan nopeimman välillä. (a) Huipulla lentäjä tuntee itsensä painottomaksi, mikä on hänen vauhtinsa? (b) Pohjalla nopeus on 280km/h, mikä on lentäjän näennäinen paino, kun todellinen paino on 700N?
\item[Vastaus:] (a) $a_c=\frac{v^2}{r}=9.80m/s^2 \Rightarrow v=\sqrt{9.80m/s^2*150m} = 38.34m/s\approx 140km/h$ ($a_c$ kumoaa $g$:n)\\
(b) $a_c=\frac{v^2}{r} = \frac{((280/3.6)m/s)^2}{150m}=40.33m/s^2$ ja $m=\frac{G}{g}=\frac{700N}{9.8m/s^2}=71.43kg$\\
$F=m(a+g)=71.43kg*(40.33m/s^2+9.8m/s^2)=3580.71N\approx 3600N$
\newpage
\item[Tehtävä:] 5. Työnnät kärryjä, $m=380kg$, kohdistaen niihin voiman $\bar{F} = (-68.0N)\bar{i} + (36.0N)\bar{j}$. Kärryt liikkuvat $48m$ suuntaan, joka on $240.0^{\circ}$  vastapäivään x-akselista. Kuinka suuren työn käyttämäsi voima tekee kärryihin?
\item[Vastaus:] 
$\bar{F} = (-68.0N)\bar{i} + (36.0N)\bar{j} \Rightarrow \bar{F_x} = -68.0N \wedge \bar{F_y} = 36.0N$\\
$s=48.0m$, $\alpha = 240^{\circ}-180^{\circ} =60^{\circ} \Rightarrow\\
s_x=-48.0m*cos(60^{\circ}) \wedge s_y = -48.0m*sin(60^{\circ})$.\\
$W=\bar{F}\cdot\bar{s} = F_xs_x+F_ys_y \Rightarrow\\
W= -68.0N*(-48.0m*cos(60^{\circ}))+36.0N*(-48.0m*sin(60^{\circ})) \Rightarrow\\
1632Nm+(-1496Nm)=136Nm=136J$
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}[scale=0.22]
   \tkzInit[xmax=1,ymax=1,xmin=-5,ymin=-7]
   \draw[ thin,-|] (0,0) -- (-24,-41.57) node[anchor=south west] {$s$};
   \draw[ thin,|->] (-24,-41.57) -- (-30.8,-37.97) node[anchor=south west] {$F$};
\draw[thin,->] (-31,0) -- (5,0) node (xaxis)[right] {$x$};
\draw[thin,->] (0,-42) -- (0,5) node (yaxis)[above] {$y$};
  \end{tikzpicture}
\end{figure}

\item[Tehtävä:] 6. Auto kulkee vaakasuoralla tiellä vauhdilla $v_0$. Kun jarrutetaan, auto alkaa liukua. (a) Laske (TET), miten auton lyhin pysähtymismatka riippuu $v_0$:sta, $g$:stä ja $\mu$:stä. (b) Auto pysähtyy etäisyydelle $91.2m$, jos $v_0 = 80.0km/h$. Mikä on pysähtymismatka, jos $v_0=60.0km/h$? Oleta, että $\mu$ on vakio.
\item[Vastaus:] (a) $W_{tot}=\Delta E_K = E_{Kloppu}-E_{Kalku}$ (TET)\\
$E_{Kloppu} = 0$, $E_{Kalku} = \frac{1}{2}mv^2$, Kaikki työ kitkan tekemää. $W_{tot} = -E_{Kalku}$\\
Kitkan suunta on liikkeen suuntaa vastaan eli $W_{tot} = -f_{\mu}s=\mu mgs$\\
$\mu mgs = \frac{1}{2}mv^2$ Massat supistuu, jaetaan $\mu g \Rightarrow s= \frac{v^2}{2\mu g}$\\
(b) $80km/h = (80/3.6)m/s$ ja $60km/h = (60/3.6)m/s$.\\
Siis: $s=\frac{v^2}{2\mu g} \Rightarrow \mu = \frac{v^2}{2gs} \Rightarrow\\
\mu = \frac{(80/3.6m/s)^2}{2*9.8m/s^2*91.2m}=0.27626 \Rightarrow s=\frac{v^2}{2\mu g} \Rightarrow \frac{((60/3.6)m/s)^2}{2*0.27626*9.8m/s^2}=51.3m$

\end{description}
\end{document}













