%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel} 
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pdfpages}

%TÄHÄN OLISI TARKOITUS KOOTA NE LYHENTEET JOITA MA1:SSA TARVITAAN
% numeroitu yhtalo
\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
    
% operators
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm

% ENNEN TÄTÄ OLEVIIN RIVEIHIN EI TARVITSE KOSKEA
\title{MAT-01160 Matematiikka 1, harjoitus 3, T5}

\begin{document}
\maketitle % tekee otsikon


\begin{description}
\item[Tehtävä: ] 
Hae kaikki luvun $5+5i$ kolmannet juuret.
\end{description}

\begin{description}
\item[Ratkaisu:]
$5+5i=\sqrt{5^2+5^2}e^{i\frac{\pi}{4}}=5\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}} = 5*2^{\frac{1}{2}}*e^{i\frac{\pi}{4}}$. Nyt eräs kolmas juuri on
\[w_1=5^{1/3}*2^{1/6}e^{i\frac{\pi}{12}}\]
sillä $w_1^3=5^{(1/3)*3}*2^{(1/6)*3}*e^{i\pi/12\cdot3}=5*2^{1/2}e^{i\pi/4}$. Muut kolmannet juuret ovat kulman $2\pi/3$ välein $5*2^{1/2}$-säteisellä ympyrällä, joten ne ovat
\begin{align*}
w_2&=5*2^{1/2}e^{i(\pi/12+2\pi/3)}=5*2^{1/2}e^{i3\pi/4}\quad\text{ja}\\
w_3&=5*2^{1/2}e^{i(\pi/12+2*2\pi/3)}=5*2^{1/2}e^{i17\pi/12}.
\end{align*}

% Kuvan piirtämiseen tarvitaan ympäristö tikzpicture. Se pitää aloittaa ja lopettaa (begin ja end) niin kuin kaikki muutkin ympäristöt. Center -ympäristöllä saadaan kuva keskelle sivua. Huomaathan aina tikzpicture käyttäessäsi, että latex-tiedoston ylälaidassa on \usepackage{tikz} - tämä paketti täytyy ladata, jotta tikziä voidaan käyttää.
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
% KUVAN TIEDOT
%\end{tikzpicture}
%\end{center}


\begin{center}
\begin{tikzpicture}%[scale=0.8]
% Piirretään reaaliakseli pisteestä (-2.5, 0) pisteeseen (2.5, 0)
\draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] {Re};
% Piirretään imaginääriakseli
\draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[above] {Im};
% Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja säde 1.92
\draw (0,0) circle (1.92);
% Piirretään piste w_1 ympyrän kehälle, koordinaatit (1.85,0.50) löydetään hieman kokeilemalla
\filldraw[fill=black, stroke=black] (1.85,0.50) circle (0.07) node[above right] {$w_1$};
% Piirretään w_1:een suora. Tämä ja ylläoleva suoritetaan myös pisteille w_2 ja w_3.
\draw (0,0) -- (1.85,0.50);
\filldraw[fill=black, stroke=black] (-0.50,-1.85) circle (0.07) node[above left] {$w_3$};
\draw (0,0) -- (-0.50,-1.85);
\filldraw[fill=black, stroke=black] (-1.36,1.36) circle (0.07) node[below left] {$w_2$};
\draw (0,0) -- (-1.36,1.36);

% Piirretään kaari, jonka kärjessä on nuoli. Tämä lähtee pisteestä (0.7, 0) ja päättyy kohti w_1:stä menevään suoraan
\draw[->] (0.7,0) arc (0:15:0.7);
% Kirjoitetaan kuvaan kulma -\pi/12.
\draw (1.4,0.2) node {\footnotesize $\pi/12$};

% Piirretään kaari: ensin alkupisteet, sitten mitä piirretään (arc) ja sitten mistä kulmasta (-15 astetta) mihin kulmaan (105 astetta) ja lopuksi kuinka pitkä kaari on (0.5) eli:
\draw (0.50,0.15) arc (15:135:0.5);

% Seuraavat juuret ovat kompleksitasossa 2 \pi / 3:n välein.
\draw (0.5,0.8) node {\footnotesize $2\pi/3$};
\draw (-0.5,0.5) arc (135:255:0.7);
\draw (-1.2,-0.4) node {\footnotesize $2\pi/3$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{description}

\begin{description}
\item[Vastaus: ]
Juuret ovat $5*2^{1/2}e^{i\pi/12}, \quad 5*2^{1/2}e^{i3\pi/4}$\quad ja $5*2^{1/2}e^{i17\pi/12}$.

\end{description}

\end{document}
















