\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{tikz} % mahdollistaa kuvien piirtämisen latexilla tikz-ympäristössä
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{graphicx} % mahdollistaa kuvatiedostojen lisäämisen
\usepackage{pdfpages} % mahdollistaa pdf-tiedostojen lisäämisen
\usepackage{hyperref} % mahdollistaa linkkien lisäämisen

\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
 
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm
\usepackage{polynom}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{flushright}
\item[MAT-01160 2015-01 Teemu Salminen]
\end{flushright}
\begin{description}

\item[Tehtävä:]1. Esitä $z$ muodossa $a+bi$, kun (a) $z=(2+3i)^2$ (b) $z=\frac{-6+2i}{6-i}$\\
(c) $\frac{1}{z}=\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_1*z_2}$, missä $z_1=2-2i$ ja $z_2=1+6i$.
\item[Vastaus:](a) $z= (2+3i)^2 = (2+3i)(2+3i)=4+6i+6i-9= -5+12i$\\
(b)$z=\frac{-6+2i}{6-i} = \frac{(-6+2i)(6+i)}{(6-i)(6+i)} = \frac{-36-6i+12i-2}{\sqrt{6^2+i^2}^2} = \frac{-38+6i}{37} = \frac{-38}{37}+\frac{6}{37}i$\\
(c) $\frac{1}{z}=\frac{1}{z_1}^{(z_2}+\frac{1}{z_1*z_2}=\frac{1}{z}=\frac{z_2}{z_1*z_2}+\frac{1}{z_1*z_2}=\frac{z_2+1}{z_1*z_2}\Rightarrow z= \frac{z_1*z_2}{z_2+1}$\\
$\frac{(2-2i)(1+6i)}{(1+6i)+1}=\frac{14+10i}{2+6i}= \frac{(14+10i)(2-6i)}{(2+6i)(2-6i)}= \frac{88-64i}{40}= \frac{11}{5} - \frac{8i}{5}$
\item[Tehtävä:]2. Olkoon $z=4-4i$ ja $w=1-\sqrt{3}i$. Ilmoita muodossa $r*exp(j\theta)$\\
(a) $z$ ja $w$ (b) $z*w$ (c) $\frac{z}{w}$ (d) Määritä $2*exp(i*\pi/3)$ ja $4*exp(-i*\pi/2)$ summa muuttamalla ne ensin muotoon $x+yi$.
\item[Vastaus:] (a) $z=4-4i = \sqrt{4^2+4^2}*e^{-i*\pi/4}= 4*\sqrt{2}*e^{-i*\pi/4}$, Sillä $tan(\theta) = 4/-4 = -1 \Rightarrow \theta = -\pi/4$\\
$w= 1-\sqrt3i = \sqrt{1^2+3}*e^{-i*\pi/3} = 2*e^{-i*\pi/3}$, sillä $tan(\theta)= -\sqrt3 \Rightarrow  \theta = -\pi/3$\\
(b) $z*w = (4\sqrt2*e^{-i*\pi/4})(2*e^{-i*\pi/3})=2^{5/2}*2*e^{-i*\pi/4}*e^{-i*\pi/3} \\= 2^{7/2}*e^{-i*(\pi/4+\pi/3)} = 2^{7/2}*e^{-i*7*\pi/12}$\\
(c) $z/w = (2^{5/2}*e^{-i*\pi/4})/(2*e^{-i*\pi/3})=2^{3/2}*e^{-i(\pi/3-\pi/4)} = 2^{3/2}*e^{i*\pi/12}$\\
(d) $2*e^{i*\pi/3}+4*e^{-i*\pi/2} = 2*(cos(\pi/3)+i*sin(\pi/3))+4*(cos(-\pi/2)+i*sin(-\pi/2)) = 2*(1/2+ i*\sqrt3/2)+ 4*(0-i) = 1+\sqrt3i -4i = 1+ (\sqrt3-4)i$
\item[Tehtävä:] 3. Ratkaise $x^2-4ix-5-i=0$, käytä 2. asteen ratkaisukaavaa.\\
Mikä on diskriminantti $D$ ja juuret $x_1$ ja $x_2$ muodossa $2i+r*exp()$
\item[Vastaus:] Toisen asteen ratkaisukaava muotoa $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ Sijoitetaan:\\
$\frac{4i\pm\sqrt{(-4i)^2-4*1*(-5-i)}}{2*1}= \frac{4i\pm\sqrt{-16+20+4i}}{2}=\frac{4i\pm\sqrt{4+4i}}{2}=\frac{4i\pm2\sqrt{1+i}}{2}=2i\pm\sqrt{1+i}\Rightarrow$\\
$x=2i-\sqrt{1+i} \vee x=2i+\sqrt{1+i}$Kompleksiluvun $\sqrt{1+i}$ polaarimuoto on $2^{1/4}*e^{i\pi/8}$\\
V: $D= 4+4i$, $x_1 = 2i-2^{1/4}*e^{i*\pi/8}$ ja $x_2 = 2i+2^{1/4}*e^{i*\pi/8}$.
\item[Tehtävä:] 4. Hae kaikki luvun $-3+3i$ kolmannet juuret.
\item[Vastaus:] $z=-3+3i$, $r = \sqrt{(-3)^2+3^2}=3\sqrt{2}$. $tan{\theta} = \frac{3}{-3} = -1 \Rightarrow \theta = \frac{3*\pi}{4} \Rightarrow$\\
$ z= 3\sqrt2e^{\frac{3\pi}{4}i}$ Nyt eräs juuri on $w_1=(3\sqrt2)^{1/3}*e^{\frac{\pi}{4}i}$,
\\sillä $w_1^3= ((3\sqrt2)^{1/3})^3 * e^{\frac{\pi}{4}*3*i}= 3\sqrt2e^{\frac{3\pi}{4}i}=z$ Juuret ovat kulman $2\pi/3$ (Kolmasosakaaren) välein eli:\\
$w_2 = (3\sqrt2)^{1/3}*e^{i(\frac{\pi}{4}+2\pi/3)} = (3\sqrt2)^{1/3}*e^{\frac{11\pi}{12}i}$ ja \\
$w_3 = (3\sqrt2)^{1/3}*e^{i(\frac{\pi}{4}+2*2\pi/3)} = (3\sqrt2)^{1/3}*e^{\frac{19\pi}{12}i}$ \\
V: $w_1 =  (3\sqrt2)^{1/3}*e^{\frac{\pi}{4}i}$, $w_2= (3\sqrt2)^{1/3}*e^{\frac{11\pi}{12}i}$ ja $w_3 = (3\sqrt2)^{1/3}*e^{\frac{19\pi}{12}i}$
\newpage
\item[Tehtävä:] 6. Matlab-tehtävä.
\item[Vastaus:] MATLAB-sivu tehtävien lopussa.
\item[Tehtävä:] 7. (a) Osoita, että $i$ on polynomin $p(x) = x^4 -4x^3+5x^2-4x+4$ nollakohta ja hae kaikki $p$:n nollakohdat. (b) Jaa polynomi $p$ ensimmäisen asteen tekijöihin.
\item[Vastaus:] (a) Lasketaan $p(i)$: \\
$i^4-4i^3+5i^2-4i+4 = 0$\\
$1+4i-5-4i+4=0$\\
$0=0 \Rightarrow Tosi.$ Koska $i$ on nollakohta, myös $i$:n liittoluku $\bar{i} = -i$ on. Tästä saadaan $(x-i)(x+i)=x^2+1$ Selvitetään jäljelle jäävä 2. asteen yhtälö:
$\polylongdiv{x^4-4x^3+5x^2-4x+4}{x^2+1}$\\
Ratkaistaan $x^2-4x+4$ nollakohdat ratkaisukaavalla: \\
$\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4*1*4}}{2*1} = \frac{4\pm0}{2} = 2$ (Kaksoisjuuri)\\
V: Nollakohdat ovat $i$, $-i$ ja $2$.\\
(b) Nollakohdista: $p(x)=(x-i)(x+i)(x-2)(x-2)$
\item[Tehtävä:] 8. Ratkaise yhtälö $\abs{\frac{z-i}{z-1-2i}}=\sqrt{2}$ merkitsemällä $z=x+iy$ Piirrä kuva ratkaisujoukosta kompleksitasossa.
\item[Vastaus:] Merkitään $z=x+iy \Rightarrow \abs{\frac{x-iy-i}{x+iy-1-2i}} = \sqrt2 \Leftrightarrow \frac{\abs{x+(y-1)i}}{\abs{(x-1)+(b-2)i}} = \sqrt2 \Leftrightarrow $\\
$\frac{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}{\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}} = \sqrt2 \Leftrightarrow \frac{x^2+(b-1)^2}{(x-1)^2+(y-2)^2}=2\Leftrightarrow x^2+(b-1)^2=2((x-1)^2+(y-2)^2)$\\
$x^2+y^2-2x+1=2x^2-4x+2+2y^2-8y+8 \Leftrightarrow \\
(x-2)^2 + (y-3)^2 =4 \Leftrightarrow (x-2)^2+(y-3)^2=2^2 \Rightarrow $\\
Ympyrä, jonka säde $r=2$ ja kp: $(2,3)$.
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}
   \tkzInit[xmax=4,ymax=5,xmin=-1,ymin=-1]
   \tkzGrid
   \tkzAxeXY
\draw (2,3) circle [radius=2];
  \end{tikzpicture}
\end{figure}
\end{description}
\end{document}













