\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{tikz} % mahdollistaa kuvien piirtämisen latexilla tikz-ympäristössä
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{graphicx} % mahdollistaa kuvatiedostojen lisäämisen
\usepackage{pdfpages} % mahdollistaa pdf-tiedostojen lisäämisen
\usepackage{hyperref} % mahdollistaa linkkien lisäämisen

\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
 
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{flushright}
\item[FYS-1080 2015-02 Teemu Salminen 256544]
\end{flushright}
\begin{description}
\item[Tehtävä:] 1. Tyhjän hissin massa on $600kg$. Hissi on suunniteltu nousemaan $20.0m$ ajssa $16.0s$ ja sitä nostaa moottori, jonka maksimiteho on $40hp$. Mikä on suurin matkustajamäärä, jolla hissi toimii? (keskimäär. matkustaja $m=65.0kg$, $1hp=746W$).
\item[Vastaus:] $P=40hp=40*746W=29840W$, $h=20.0m$, $\Delta t=16.0s$, $m=600kg+n65.0kg$.\\
$P=W/t=mgh/t=29840W\Rightarrow m=(29840W*t)/(gh)=(29840W*16.0s)/(9.81m/s^2*20.0m)=2433.435kg\Rightarrow m=2433kg=600kg+n65.0kg \Rightarrow n65.0kg=1833kg \Rightarrow n= 28.2 \Rightarrow 28$hlö.
\item[Tehtävä:] 2. Lapsi työntää $m=10.0kg$:n kelkkaa x-akselin suuntaisella voimalla, joka on esitetty kuvassa. Laske voiman tekemä työ, kun kelkka liikkuu matkan (a) $x=0.0m..8.0m$ (b) $x=8.0m..12.0m$ (c) $x=0.0m..12.0m$.
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
   \tkzInit[xmax=12,ymax=10,xmin=0,ymin=0]
   \tkzGrid
   \tkzAxeXY
   \draw[ thick,-] (0,0) -- (8,10) node[anchor=south west] {};
   \draw[ thick,-] (8,10) -- (12,0) node[anchor=south west] {};
  \end{tikzpicture}
\end{figure}
\item[Vastaus:] (a) Graafisella integroinnilla 43ruutua$=43Nm=43J$ (b) $20Nm=20J$ (c) $43J+20J=63J$
\item[Tehtävä:] 3. Vuoristoradan tyhjän vaunun paino on $m=120kg$. Pystysuorassa silmukassa, $r=12.0m$, pohjalla (a) vaunun nopeus on $25.0m/s$ ja silmukan huipulla (b) vaunun nopeus on $8.0m/s$. Mikä on kitkan tekemä vaunun noustessa väli $a-b$?
\item[Vastaus:] $m=120kg$, $r=12.0m$, $v_1=25.0m/s$, $v_2=8.0m/s$. Valitaan silmukan pohja nollatasoksi. Tällöin huipulla $h=24.0m$.\\
$W_{\mu} = \Delta E = (E_{Ploppu}+E_{Kloppu})-(E_{Palku}+E_{Kalku})= (mgh_2 + 1/2mv_2^2)-(mgh_1 + 1/2mv_1^2)$ Sijoitetaan: \\
$W_{\mu} = 120kg*9.81m/s^2*24.0m + 1/2*120kg*(8.0m/s)^2 - 120kg*9.81m/s^2*0m - 1/2*120kg*(25.0m/s)^2=-5407.2N\approx -5400N$\\
Eli kitka vastustaa liikettä $5400N$ voimalla.
\newpage
\item[Tehtävä:] 4. Vuoristoradan vaunu ajaa kitkatta pystysuoran silmukan. Vaunu lasketaan liikkeelle korkeudelta $h$ ilman alkuvauhtia. (a) Mikä on minimikorkeus $h$ (suhteessa $r$), jolta vaunu kulkee silmukan? (b) Oletetaan, että $h=3.50R$ ja $r=20.0m$. Laske vaunun vauhti, säteittäinen kiihtyvyys ja tangentiaalinen kiihtyvyys silmukan loppuneljännespisteessä. Piirrä kiihtyvyyden komponentit. 
\item[Vastaus:] (a) Silmukan huipulla vaunuun vaikuttaa voimat $\bar{N}$ ja $\bar{G}$, molemmat alaspäin. Jotta vaunu pysyy raiteilla, tukivoiman $N$ täytyy olla vähintään 0. \\
Saadaan: $F_{tot}=N + mg = mv^2/r \rightarrow N=mv^2/r-mg \stackrel{N=0}{\rightarrow}v^2=gr \stackrel{*1/2m}{\rightarrow}1/2mgr=1/2mv^2$. Eli kineettisen energian huipulla täytyy olla vähintään $1/2mrg$. Valitaan potentiaalienergian nollatasoksi silmukan alapinta, jolloin $E_{Kloppu}+E_{Ploppu}=E_{Kalku}+E_{Palku}$ josta saadaan:\\
$1/2mgr+mgh_2 =1/2mv^2 + mgh_1 \stackrel{v=0, h_2=2r}{\rightarrow}mgh=1/2mgr+mg2r\rightarrow h=1/2r+2r=5/2r$. Eli lähtökorkeus $h$ täytyy olla vähintään $\frac{5}{2}r$.\\
(b) $r=20.0m$, $h=3.50r=70.0m$. \\Kohdassa A on $E_{KA} =1/2mv^2 = 0$ ja $E_{PA} = mgh=mg3.50r$.\\Kohdassa B on $E_{KB} = 1/2mgr$ ja $E_{PB} = mgh=mg2r$.\\Kohdassa C on $E_{KC}=1/2mv^2$ ja $E_{PC}=mgh=mgr$. \\
$1/2mv^2 + mg3.50r = 1/2mv^2 + mgr \rightarrow 1/2v^2 + g3.50r = 1/2v^2+gr \rightarrow g3.50r=1/2v^2+gr \rightarrow 1/2v^2 = g3.50r-gr \rightarrow v=\sqrt{2g3.5r-2gr}\Rightarrow v= \sqrt{2*9.81m/s^2*3.5*20.0m-2*9.81m/s^2*20.0m}=31.32m/s$\\
Vaunuun vaikuttaa vain putoamiskiihtyvyys $g=9.81m/s^2=a_t$.\\
$a_c=\frac{v^2}{r}=\frac{(31.32m/s)^2}{20.0m}=49.0499m/s\approx 49.0m/s$
\begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}[scale=0.1]
   \tkzInit[xmax=0,ymax=0,xmin=0,ymin=0]
   \tkzGrid
   \draw[ thick,<-] (0,0) -- (49,0) node[anchor=south west] {$a_c$};
   \draw[ thick,->] (0,0) -- (0,-9.8) node[anchor=south west] {$a_t$};
  \end{tikzpicture}
\end{figure}
\item[Tehtävä:] 5. Kappale, $m=0.0400kg$ liikkuu $xy$-tasossa. Kappaleeseen kohdistuva nettovoima kuvataan potentiaalienergiana $U(x,y)= (5.80J/m^2)x^2+(3.60J/m^2)y^3$.\\
Mitkä ovat kappaleeseen kohdistuvan voiman ja kiihtyvyyden komponentit kohdassa $x=0.300m$, $y=0.600m$?
\item[Vastaus:] x-suuntaiset: $F_x=-\partial U/\partial x \Rightarrow -2(5.80)x=-11.60x \Rightarrow F_x=-11.60*0.300m=-3.48N \Rightarrow F_x=ma_x \Rightarrow ma_x=-11.60x \Rightarrow 0.0400kg*a_x=-11.60*0.300m \Rightarrow a_x=-87m/s^2$ y-suuntaiset: $F_y=-\partial U/\partial y \Rightarrow -3(3.60)y^2 = -10.80y^2 \Rightarrow F_y=-10.80*(0.600m)^2 = -3.888N \Rightarrow ma_y=-10.80y^2 \Rightarrow 0.0400kg*a_y=-10.80(0.600m)^2 \Rightarrow 97.2m/s^2$\\
$a= \sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{(-87)^2+(-97.2)^2} = 130.449m/s^2\approx 130.4m/s^2$\\
$tan(\theta)=a_y/a_x = 97.2/-87 \Rightarrow \theta=48.17^{\circ}$\\
V: $F_x=-3.48N$, $F_y=-3.89N$, $a=130.4m/s^2$, $\theta=48.17^{\circ}$.
\newpage
\item[Tehtävä:] 6. Pesäpalloon, $m=0.145kg$, isketään mailalla. Juuri ennen osumaa pallo etenee oikealle vauhdilla $50.0m/s$ ja se kimpoaa mailasta kulmaan $30^{\circ}$ vaakasuoraan nähden vauhdilla $65.0m/s$. Jos mailan ja pallon kontakti kestää $1.75ms$, mikä on keskimääräinen voima?
\item[Vastaus:] $p=mv \Rightarrow p_1=mv_1=0.145kg*-50.0m/s=-7.25Ns$ Vain x-akselin suuntaista liikemäärää. $p_{2x} = mv_{2x} = 0.145kg*cos(30^{\circ})*65.0m/s=8.162Ns$ ja $p_{2y} = 0.145kg*sin(30^{\circ})*65.0m/s=4.713Ns$. Muutos x-suunnassa: $8.162Ns-(-7.25Ns)=15.412Ns$. Muutos y-suunnassa: $4.713Ns-0=4.713Ns$ Kokonaismuutos: $15.412Ns+4.713Ns=20.125Ns$. $J=F\Delta t \rightarrow F=J/\Delta t \Rightarrow F=20.125Ns/0.00175s=11500N$.






\end{description}
\end{document}













