%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel} 
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pdfpages}

%TÄHÄN OLISI TARKOITUS KOOTA NE LYHENTEET JOITA MA1:SSA TARVITAAN
% numeroitu yhtalo
\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
    
% operators
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm

% ENNEN TÄTÄ OLEVIIN RIVEIHIN EI TARVITSE KOSKEA
\title{MAT-01160 Matematiikka 1, harjoitus 4, T5}


\begin{document}
\maketitle % tekee otsikon


\begin{description}
\item[Tehtävä: ] 
Osoita raja-arvon määritelmää käyttäen, että
\[
\li_{x \to 4} (x^2-x)=12.
\]
Toisin sanoen todista kyseinen raja-arvo $\epsilon-\delta$-todistuksella.
\end{description}

\begin{description}
\item[Ratkaisu:]
\begin{proof}
Olkoon $\epsilon>0$ mielivaltainen ja $\delta=\min\left(2,\frac{\epsilon}{11}\right)>0$. 

Jos $0<\abs{x-4}<\delta$ niin $2<x<6$ ja edelleen
\eq{
\abs{(x^2-x)-12}&=\abs{(x^2-x)-12}\\&=\abs{(x^2-16)-(x-4)}\\
&\leq\abs{x^2-16}+\abs{x-4}\\
&=\abs{(x+4)(x-4)}+\abs{\frac{x-4}{x+4}}\\
&\stackrel{x+4>1}{\leq} \abs{x-4+8}\abs{x-4}+\abs{x-4}\\
&\stackrel{}{\leq} (\abs{x-4}+8)\abs{x-4}+\abs{x-4}\\
%&\stackrel{}{\leq} (\abs{x-4}+8)\abs{x-4}+\abs{x-4}\\
&\stackrel{}{<} (\delta+8)\delta+\delta\\
&\stackrel{\delta\leq 2}{\leq} 11\delta\\
&\stackrel{\delta\leq \frac{\epsilon}{11}}{\leq} \epsilon\\
}

\end{proof}
\end{description}

\end{document}
















