\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{tikz} % mahdollistaa kuvien piirtämisen latexilla tikz-ympäristössä
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{graphicx} % mahdollistaa kuvatiedostojen lisäämisen
\usepackage{pdfpages} % mahdollistaa pdf-tiedostojen lisäämisen
\usepackage{hyperref} % mahdollistaa linkkien lisäämisen

\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
 
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm
\usepackage{polynom}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{flushright}
\item[MAT-01160 2015-01 Teemu Salminen]
\end{flushright}
\begin{description}
\item[Tehtävä:] 1. Sievennä (a) $log_2(12)+log_2(2)-log_2(3)$ (b) $log_{e^2}(e^{4a}+ae^{4a})$ ja ratkaise (c) $arcsin(\frac{-1}{\sqrt2})$ (d) $arccos(\frac{1}{\sqrt2})$ ilman laskinta.
\item[Vastaus:] (a) $log_2(12)+log_2(2)-log_2(3) = log_2(24)-log_2(3)=log_2(\frac{24}{3})=log_2(8)=log_2(2^3)=3$\\
(b) $log_{e^2}(e^{4a}+ae^{4a}) = \frac{ln(e^{4a}+ae^{4a})}{ln(e^2)} = \frac{ln(e^{4a}*(1+a))}{2}= \frac{1}{2}(ln(e^{4a})+ln(1+a))=\frac{1}{2}(4a + ln(1+a))$\\
(c) $arcsin(-1/\sqrt2) = x \Rightarrow sin(x) = -1/\sqrt2$ Muistikolmio (kat. 1 ja 1, hyp. 2) $ \Rightarrow x=-\pi/4$\\
(d) $arccos(1/\sqrt2) = x \Rightarrow cos(x) = 1/\sqrt2$ Muistikolmio (kat. 1 ja 1, hyp. 2) $ \Rightarrow x= \pi/4$
\item[Tehtävä:] 2. Sievennä (a) $(\frac{64}{8})^{4/3}$ (b) $\frac{6a^2}{(a^2\sqrt{a})^3}$ (c) $\frac{2^{x-1}8^{x+1}}{4^{2x+4}}$
\item[Vastaus:] (a) $(\frac{64}{8})^{4/3} = \frac{\sqrt[3]{64}^4}{\sqrt[3]{8}^4} = \frac{256}{16}=16$\\
(b) $\frac{6a^2}{(a^2\sqrt{a})^3} = 6\frac{a^2}{(a^{5/2})^3} = 6\frac{a^2}{a^{15/2}} = \frac{6}{a^{9/2 - 4/2}} = \frac{6}{a^{11/2}}$\\
(c) $\frac{2^{x-1}8^{x+1}}{4^{2x+4}} = \frac{2^{x-1}2^{3x+3}}{2^{4x+8}}= \frac{2^{4x+2}}{2^{4x+8}} = 2^{4x+2-4x-8} = 2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$
\item[Tehtävä:] 3. Tiedetään että $sin(\theta) = \frac{4}{5}$ ja $\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi$. Määritä $cos(\theta)$ ja $tan(\theta)$.
\item[Vastaus:] $sin(\theta) = 4/5$. $sin^2(\theta)+cos^2(\theta)=1 \Rightarrow cos(\theta)=\pm\sqrt{1-sin^2(\theta)} = \pm\sqrt{1-(4/5)^2} = \pm\frac{3}{5}$ Vaadittiin tietty ympäristö $\Rightarrow cos(\theta) = -3/5$\\
$tan(\theta)=\frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}=\frac{4/5}{-3/5}=-20/15=-4/3$
\item[Tehtävä:] 4. Ratkaise kaikki $x\in \real$, jotka toteuttavat yhtälön (a) $5cosh(x)+3sinh(x)=4$, (b) $arcsinh(0)=x$, (c) $arctanh(-1/3)=x$.
\item[Vastaus:] (a) $5cosh(x)+3sinh(x)=4 \Leftrightarrow 5(\frac{e^{-x}+e^x}{2})+ 3(\frac{-e^{-x}+e^x}{2}) = 4 \Leftrightarrow \\ 
\frac{8e^x+2e^{-x}}{2} = 4 \Leftrightarrow 4(e^x)^2+1=4e^x \Leftrightarrow (e^x)^2 -e^x+1/4=0 \Leftrightarrow (e^x)^2 -2(1/2e^x)+(1/2)^2 = 0 \Leftrightarrow (e^X - 1/2)^2 = 0 \Leftrightarrow e^x = 1/2 \Leftrightarrow x = ln(1/2) = ln(2^{-1})=-ln(2)$\\
(b) $arcsinh(0) = x \Leftrightarrow sinh(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{e^x-e^{-x}}{2} = 0 \Leftrightarrow e^x - e^{-x} = 0 \Leftrightarrow e^x=e^{-x} \Leftrightarrow x = -x$ On tosi vain jos ja vain jos $x=0$.\\
(c) $arctanh(-1/3) = \frac{1}{2}ln(1-1/3)-\frac{1}{2}ln(1+1/3)=\frac{1}{2}ln(\frac{1-1/3}{1+1/3})= \frac{1}{2}ln(\frac{1}{2})$
\newpage
\item[Tehtävä:] 6. Onko olemassa lukua $a\in\real$ siten, että raja-arvo $lim_{x\to-2}\frac{3x^2+ax+a+3}{x^2+x-2}$ on olemassa? Jos on, niin mikä raja-arvo tällöin on?
\item[Vastaus:] $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$ jaetaan toisella tekijällä $3x^2+ax+a+3$ ja määrätään $a$ siten, että jako menee tasan. Valitaan $x+2$ ja etsitään sopiva $a$. 
$\polylongdiv{3x^2+15x+18}{x+2}$ \\
Saadaan $\frac{(3x+9)(x+2)}{(x+2)(x-1)}=\frac{3x+9}{x-1}\Rightarrow $ selvitetään raja-arvo. Yhtälö on määritelty kohdassa $x=-2$ joten raja-arvo on funktion arvo: $\frac{3(-2)+9}{-2-1} = \frac{3}{-3}=-1$
\item[Tehtävä:] 7. Olkoon $\lim_{x\to a} f(x) = L$ ja $\lim_{x\to a} g(x)=M$ Osoita määritelmän avulla, että $\lim_{x\to a}(f(x)+2g(x))=L+2M$.
\item[Vastaus:] Olkoon $\epsilon > 0 m.v.$ ja $\delta : min(\delta _1, \delta _2)$\\
Jos $0<|x-a|<\delta$ niin \\
$|(f(x)+2g(x))-(L+2M)| = |(f(x)-L)+(2g(x)-2M)| \le |f(x)-L|+|g(x)-M|+|g(x)-M| \le \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{4}+\frac{\epsilon}{4}=\epsilon$\\
Koska $\lim_{x\to a} f(x) = L$ niin $\exists \delta _1 >0$ s.e. $|f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2}$ kun $0<|x-a|<\delta _1$\\
Koska $\lim_{x\to a} g(x) =M$ niin $\exists\delta _2 >0$ s.e. $|g(x)-M| < \frac{\epsilon}{4}$ kun $0<|x-a|<\delta _2$\\
Siten summa $f(x)+g(x)+g(x)$ saa kohdassa $a$ raja-arvon $L+M+M=L+2M \ \  \ \  \ \  \ \square$

\item[Tehtävä:] 8. Millä muuttujan $x\in\real$ arvoilla reaalifunktio $f(x)= log_a(\frac{4}{x-3}),\\
0<a<1$ saa ei-negatiivisia arvoja. Derivaattaa ei saa käyttää.
\item[Vastaus:] $log_a(\frac{4}{x-3}) = \frac{ln(\frac{4}{x-4})}{ln(a)}$. ln(a) on aina negatiivinen $\Rightarrow$ myös osoittajan täytyy olla negatiivinen tai nolla. $\Rightarrow ln(\frac{4}{x-3}) \le 0 \Rightarrow \frac{4}{x-3} \le 1 \Rightarrow x-3 \le 4 \Rightarrow x\ge7$


\end{description}
\end{document}













