%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel} 
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pdfpages}

%TÄHÄN OLISI TARKOITUS KOOTA NE LYHENTEET JOITA MA1:SSA TARVITAAN
% numeroitu yhtalo
\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
    
% operators
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm

% ENNEN TÄTÄ OLEVIIN RIVEIHIN EI TARVITSE KOSKEA
\title{MAT-01160 Matematiikka 1, harjoitus 5, T5}


\begin{document}
\maketitle % tekee otsikon


\begin{description}
\item[Tehtävä: ] 
Osoita derivaatan määritelmän avulla, että funktion $(f(x))^2$ derivaatta on $f'(x)=2f(x)f'(x)$. Derivaatan määritelmä on
\[
f'(x) = \li_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\] 
\end{description}

\begin{description}
\item[Ratkaisu:]
Määritellään $g(x) = (f(x))^2 = f(x)f(x)$.
\begin{align*}
g'(x) &= \li_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ \\
&= \li_{h \to 0} \dfrac{(f(x+h))^2-(f(x))^2}{h} \\ \\
&= \li_{h \to 0} \dfrac{(f(x+h)+f(x))(f(x+h)-f(x))}{h} \\ \\
&= \li_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)+f(x)}{1}\underbrace{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}_{=f'(x)}\\ \\
&= \li_{h \to 0} f(x)+f(x)*f'(x) \\ \\
&= 2f(x)f'(x)
\end{align*}
\flushright \qed

\end{description}

\end{document}
















