\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{tikz} % mahdollistaa kuvien piirtämisen latexilla tikz-ympäristössä
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{graphicx} % mahdollistaa kuvatiedostojen lisäämisen
\usepackage{pdfpages} % mahdollistaa pdf-tiedostojen lisäämisen
\usepackage{hyperref} % mahdollistaa linkkien lisäämisen

\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
 
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm
\usepackage{polynom}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{flushright}
\item[MAT-01160 2015-01 Teemu Salminen]
\end{flushright}
\begin{description}
\item[Tehtävä:] 1. (a) Määritä vakio $b$ siten että funktio $f$ on kaikkialla jatkuva: \\
$f(x)= \begin{cases} 
     bx-7, & x< 4 \\
      x^2-2, & x \ge 4 
   \end{cases}
$\\
(b) Määritä $a$:n ja $b$:n arvot siten, että $f$ on jatkuva $x\in\real$\\
$f(x)= \begin{cases}
4x-2, & x<6 \\
a,& x=6\\
bx^2, & x>6
\end{cases}
$
\item[Vastaus:] (a) Raja-arvojen täytyy olla samat kohdassa $x=4$: $4^2-2=14$ Eli $4b-7=14\Rightarrow 4b=21 \Rightarrow b= \frac{21}{4}$\\
(b) Raja-arvojen täytyy olla samat kohdassa $x=6$. Huomataan, että $4x-2$ on jatkuva kohdassa $x=6$ joten: $4*6-2=22$ eli $a=22$ ja $36b=22\Rightarrow b=\frac{22}{36}$
\item[Tehtävä:] 2. Laske raja-arvot: (a) $\li_{x\to-1}\frac{x^2+6x+5}{x^2-3x+2}$ (b) $\li_{x\to a}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}{x-a}$ (c) $\li_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x^2-16}$
\item[Vastaus:] (a) $\li_{x\to-1}\frac{x^2+6x+5}{x^2-3x+2}=\li_{x\to-1}\frac{(x+5)(x+1)}{(x+2)(x+1)}=\li_{x\to-1}\frac{x+5}{x+2}\Rightarrow \frac{4}{1}=4$\\
(b) $\li_{x\to a}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}{x-a}= \li_{x\to a}\frac{\frac{1}{x}^{(a}-\frac{1}{a}^{(x}}{x-a}=\li_{x\to a}\frac{-(x-a)}{ax(x-a)}=\frac{-1}{a^2}$\\
(c) $\li_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x^2-16}=\li_{x\to4}\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(x+4)(\sqrt{x}+2)}=\li_{x\to4}\frac{x-4}{(x-4)(x+4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{(4+4)(2+2)}=\frac{1}{32}$
\item[Tehtävä:] 3. Derivoi (a) $f(x)=e^{x^4}$ (b) $f(x)=cos(cos(x))$ (c) $f(x)=x^2ln(7x)$
\item[Vastaus:] (a) $D_x e^{x^4} = e^{x^4} D_x x^4 = e^{x^4}4x^3$\\
(b) $D_x cos(cos(x)) = sin(cos(x))D_x cos(x)=sin(cos(x))sin(x)$\\
(c) $D_x x^2ln(7x)= 2xln(7x)+x^27\frac{1}{7x}=2xln(7x)+x$
\item[Tehtävä:] 4. Laske derivaatat (a) $f_a(x)=x^5+4x^3-6x^2+\pi$ (b) $f_b(x)=\frac{x^4-2}{x+1}$\\
(c) $f_c(x)=2sin(cos^2(x))$ (d) $f_d=(3\sqrt{3x}+\frac{2}{x})(4x^2-x)$\\
(e) $f_e(x) = \frac{8}{\sqrt[£]{x}}$ (f) $f_f(x) = cosh^2(x)$
\item[Vastaus:] (a) $D_x x^5 +4x^3-6x^2+\pi = 5x^4+12x^2-12x$\\
(b)  $D_x \frac{x^4-2}{x+1} = \frac{D_x(x^4-2)*(x+1)-(x^4-2)D_x(x+1)}{(x+1)^2}= \frac{(4x^3*(x+1))-( x^4-2)*1}{(x+1)^2}=\frac{4x^3}{x+1}-\frac{x^4-2}{(x+1)^2}$\\
(c) $D_x 2sin(cos^2(x))$. Merkitään $f(x)=2sin(x)$ ja $g(x)=cos^2(x)$. Jaetaan $g(x)$: $h(x)=x^2$ ja $j(x)=cos(x)$. Lasketaan $g'(x)=j'(x)h'(j(x))=-sin(x)2cos(x)$ lasketaan $f_c(x)=g'(x)f'(g(x))=-2cos(x)sin(x)(2cos(cos^2(x))\\=-4cos(x)sin(x)cos(cos^2(x))=-2sin(2x)cos(cos^2(x))$\\
(d) $D_x (3\sqrt{3x}+\frac{2}{x})(4x^2-x) = D_x(3\sqrt{3x}+\frac{2}{x})*(4x^2-x)+(3\sqrt{3x}+\frac{2}{x})D_x(4x^2-x)=\frac{18^2}{\sqrt{3x}}-8-\frac{9x}{2\sqrt{3x}}+\frac{2}{x}+24\sqrt{3x}x+16-3\sqrt{3x}-\frac{2}{x}=\frac{90x^2}{\sqrt{3x}}-\frac{27x}{2\sqrt{3x}}+8$\\
(e) $D_x8x^{-1/3}=8(-1/3x^{-4/3})=-\frac{8}{3x^{4/3}}$\\
(f) $D_xcosh^2(x)$ Jaetaan $f(x)=x^2$ ja $g(x)=cosh(x)$: $g'(x)f'(g(x))=sinh(x)2cosh(x)$
\newpage
\item[Tehtävä:] 6. Käytä MATLABIA ja vastaa kysymyksiin.
\item[Vastaus:] 1.Pelkkä tähti kertoo yksittäisiä arvoja, pistetähti vektoroi funktion ja ohittaa array-loopin. 2. Tekee muuttujasta $x$ symboolisen. \\
3. Quasi-Newton 4. Ei osu.
\item[Tehtävä:] 7.Laske derivaatta derivaatan määritelmän avulla: (a) $f(x)=x^2$\\
(b) $g(x)=\frac{1}{x}$ (c) $k(x)=\sqrt{x}$
\item [Vastaus:] Määritelmä: $f'(x)=\li_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$\\
(a) $f'(x)= \li_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\li_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\li_{h\to0}\frac{h(2x+h)}{h}=\li_{h\to0}2x+h=2x$\\
(b) $g'(x)=\li_{h\to0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\li_{h\to0}-\frac{1}{hx+x^2}=\frac{1}{x^2}$\\
(c) $k'(x)= \li_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\li_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

\item[Tehtävä:] 8. Ohut suora putki ($d=0$) kuljetetaan vaakatasossa $4m$ leveältä käytävältä kulman ympäri $8m$ leveälle käytävälle. Kuinka pitkä putki voi olla?
\item[Vastaus:] \begin{figure}[h]
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
   \tkzInit[xmax=12,ymax=10,xmin=0,ymin=0]
   \draw[ thick,-] (0,8) -- (12,8) node[anchor=south west] {};
   \draw[ thick,-] (0,8) -- (0,-6) node[anchor=south west] {};
   \draw[ thick,-] (4,0) -- (4,-6) node[anchor=south west] {};
   \draw[ thick,-] (4,0) -- (12,0) node[anchor=south west] {};
   \draw[ thick,-] (0,-4.5) -- (11,8) node[anchor=south west] {};
   \draw[ thick,-] (0,-4.5) -- (0,0) node[anchor=north east] {x};
   \draw[ dotted,-] (11,8) -- (11,0) node[anchor=south west] {8m};
   \draw[ dotted,-] (0,0) -- (4,0) node[anchor=south east] {4m};
   \draw[ thick,-] (0,-4.5) -- (4,0) node[anchor=north east] {a};
   \draw[ thick,-] (4,0) -- (11,8) node[anchor=north east] {b};
  \end{tikzpicture}
\end{figure} Muodostetaan kaksi yhdenmuotoista kolmiota, joiden hypotenuusat ($a$ ja $b$) muodostavat putken. $a$:n pituus saadaan pythagoraalla $a=\sqrt{x^2+4^2}$\\
$b$:n pituus saadaan verrannosta $\frac{a}{x}=\frac{b}{8} \Rightarrow b= \frac{8a}{x}$ Näin ollen putken pituus on $a+b=\sqrt{x^2+4^2}+\frac{8a}{x}=\sqrt{x^2+16}+\frac{8\sqrt{x^2+16}}{x}=\sqrt{x^2+16}+\frac{8}{x}\sqrt{x^2+16}=\sqrt{x^2+16}(1+\frac{8}{x})=(x^2+16)^{\frac{1}{2}}(1+\frac{8}{x})$ Jonka derivaatan minimikohtasta saadaan pisin mahdollinen putki.\\
$D_x(x^2+16)^{\frac{1}{2}}D_x(1+\frac{8}{x})=0$\\
$2x*\frac{1}{2}(x^2+16)^{-\frac{1}{2}}*(1+\frac{8}{x})+(x^2+16)^{\frac{1}{2}}*(-\frac{8}{x^2})=0$\\
$\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}*(1+\frac{8}{x})+ \sqrt{x^2+16}*(-\frac{8}{x^2})=0$\\
$x(1+\frac{8}{x})+(x^2+16)(-\frac{8}{x^2})=0$\\
$x(x^2+8x)(x^2+16)(-8)=0$\\
$x^3+8x^2-8x^2-128=0$\\
$x^3=128$\\
$x=\sqrt[3]{128} (\approx 5)$
Laskemalla derivaatta $x$:n molemmin puolin voidaan todeta, että kyseessä on minimi: $f'(3)\approx -2 <0$ ja $f'(6)\approx 0.4>0$
Voidaan siis laskea putken maksimipituus sijoittamalla $\sqrt[3]{128}\approx 5$ alkuperäiseen yhtälöön.\\
$f(5)=(\sqrt{5^2+16})(1+\frac{8}{5})=\frac{32}{5}\frac{13}{5}=\frac{416}{25}=16+\frac{16}{25}\approx 16.6m$\\
$(f(\sqrt[3]{128})=16.648m)$



\end{description}
\end{document}













