%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pdfpages}

%TÄHÄN OLISI TARKOITUS KOOTA NE LYHENTEET JOITA MA1:SSA TARVITAAN
% numeroitu yhtalo
\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
    
% operators
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm

% ENNEN TÄTÄ OLEVIIN RIVEIHIN EI TARVITSE KOSKEA
\title{MAT-01160 Matematiikka 1, harjoitus 6, T5}

\begin{document}
\maketitle % tekee otsikon

\begin{description}
\item[Tehtävä: ] 
Laske $r$-säteisen ympyrän piiri integroimalla.
\end{description}

\begin{description}
\item[Ratkaisu: ] 
Ympyrän yhtälöstä $x^2 + y^2 = r^2$ saadaan $f(x)=y = \pm \sqrt{r^2-x^2}$. Valitaan ympyrän keskipisteeksi origo ja valitaan integroitavaksi ympyrän positiivisella puolella sijaitseva osa: $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$, $x\in[-r,r]$ joka kerrotaan lopuksi kahdella.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}%[scale=0.8]
\draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] {$x$}; % piirtää x-akselin
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[above] {$y$}; % piirtää y-akselin
%\draw (0,0) circle (1.92); % tällä saa koko ympyrän; (0,0) on keskipiste ja 1.92 on säde.
\draw (-1.92,0) arc (180:-1.92:1.92);
\draw[dotted] (-1.92,0) arc (-180:-1.92:1.92);
\filldraw[fill=black, stroke=black] (1.92,0) circle (0.07) node[above right] {$r$};
\filldraw[fill=black, stroke=black] (-1.92,0) circle (0.07) node[above right] {$-r$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\eq{
\textrm{piiri} &= (\int_{-r}^r\sqrt{1+f'(x)^2}\dx x)*2\\
&= (2\int_{0}^r\sqrt{1+\left(-\frac{2x}{2\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2}\dx x)*2\\
&= (2\int_{0}^r\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\dx x)*2\\
&= (2\int_0^r\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}\dx x)*2\\
&= (2\int_0^r\sqrt{\frac{1}{1-(x/r)^2}}\dx x)*2\\
&= (2r\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\dx u)*2 \quad (\text{sijoitus: }u = x/r)\\
&= (2r\sij{0}{1} \arcsin(u)  )*2\\
&= (2r(\arcsin(1)-\arcsin(0)))*2=2\pi r \quad.
}

\end{description}

\begin{description}
\item[Vastaus: ] $2\pi r$
\end{description}

\end{document}