\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{tikz} % mahdollistaa kuvien piirtämisen latexilla tikz-ympäristössä
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{graphicx} % mahdollistaa kuvatiedostojen lisäämisen
\usepackage{pdfpages} % mahdollistaa pdf-tiedostojen lisäämisen
\usepackage{hyperref} % mahdollistaa linkkien lisäämisen

\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
 
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm
\usepackage{polynom}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{flushright}
\item[MAT-01160 2015-01 Teemu Salminen]
\end{flushright}
\begin{description}
\item[Tehtävä:] 1. (a) Määritä funktion $f(x)=(x+6)^4$ integraalifunktio (b) Laske osittaisintegroimalla $\int xe^{3x}$
\item[Vastaus:] (a) $F(x)=\frac{1}{5}(x+6)^{4+1}=\frac{1}{5}(x+6)^5$\\
(b)$f(x)=xe^{3x}=e^{3x}x \Rightarrow f'(x)g(x)$, missä $f'(x) = e^{3x}$ ja $g(x)=x$\\
josta saadaan $f(x) = \frac{e^{3x}}{3}$ ja $g'(x)=1$ \\
Osittaisintegroinnin kaava $\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x)- \int f(x)g'(x)dx \Rightarrow$\\
$\frac{e^{3x}}{3}*x - \int \frac{e^{3x}}{3}*1 \Leftrightarrow \frac{xe^{3x}}{3}-\frac{1}{3} \int \frac{1}{3} 3e^{3x}dx\Leftrightarrow \frac{xe^{3x}}{3}-\frac{e^{3x}}{9} +C \Leftrightarrow \frac{1}{9}e^{3x}(3x-1)$
\item[Tehtävä:] 2. Laske integraali $\int \frac{x^4-4x^3+3x^2+2x-39}{x^2-2x-8}dx$
\item[Vastaus:] $\polylongdiv{x^4-4x^3+3x^2+2x-39}{x^2-2x-8}$\\
Eli $\int x^2-2x+7+\frac{17}{x^2-2x-8}dx$ Tehdään osamurtokehitelmä: $x^2-2x-8=0 \Rightarrow x=-2 \vee x=4$ Josta saadaan $\frac{7}{x^2-2x-8}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-4}=\frac{A(x-4)+B(x+2)}{x^2-2x-8}$\\
Josta selvitetään $A$ ja $B$ yhtälöryhmällä: 
$\begin{cases} 
A+B=0\\
-4A+2B=17
\end{cases}$\\
Josta $A=-B \Rightarrow 4B+2B=17 \Rightarrow B=\frac{17}{6}$ ja $A=-\frac{17}{6}$\\
Nyt $\int x^2-2x+7 + \frac{-17}{6(x+2)}+\frac{17}{6(x-4)}=\frac{1}{3}x^3-x^2+7x-\frac{17}{6}ln|x+2|+\frac{17}{6}ln|x-4|$
\item[Tehtävä:] 3. Laske raja-arvot käyttäen l'Hospitalin sääntöä. (a) $\li_{x\to0}\frac{e^{4x}-1}{4x}$\\
(b) $\li_{x\to0}\frac{sin(x)}{x^2+x}$ (c) $\li{x\to\infty}\frac{8x^2-1}{x*ln(x)}$
\item[Vastaus:] (a) $\li_{x\to0}\frac{e^{4x}-1}{4x}\stackrel{\textquotedbl\frac{0}{0}\textquotedbl}{=}\li_{x\to0}\frac{4e^{4x}}{4}=1$\\
(b) $\li_{x\to0}\frac{sin(x)}{x^2+x}\stackrel{\textquotedbl\frac{0}{0}\textquotedbl}{=}\li_{x\to0}\frac{cos(x)}{2x+1}=1$\\
(c) $\li_{x\to\infty}\frac{8x^2-1}{x*ln(x)}\stackrel{\textquotedbl\frac{0}{0}\textquotedbl}{=}\li_{x\to\infty}\frac{16x}{ln(x)+1}\stackrel{\textquotedbl\frac{\infty}{\infty}\textquotedbl}{=}\li_{x\to\infty}\frac{16}{\frac{1}{x}}=\infty$
\item[Tehtävä:] 4. Laske raja-arvo $\li_{x\to\infty}(e^x+x)^{\frac{1}{2x}}$
\item[Vastaus:] $\li_{x\to\infty}(e^x+x)^{\frac{1}{2x}}=\li_{x\to\infty}exp(\frac{\frac{1}{2}(e^x+x)}{x})=exp(\li_{x\to\infty}\frac{ln(e^x)+ln(1+\frac{x}{e^x})}{2x})=$\\
$exp(\frac{\li_{x\to\infty}\frac{log(e^x)}{x}}{2})=exp(\frac{\li_{x\to\infty}\frac{x}{x}(=1)}{2})=exp(\frac{1}{2})=\sqrt{e}$
\newpage
\item[Tehtävä:] 6. Kerro, mitä komennot $diff$, $polyval$, $polyint$, $simplify$ ja sen ominaisuus $Steps$ tekevät. 
\item[Vastaus:] $diff$ laskee eron perättäisten $x$:n elementtien välillä.\\
$polyval$ palauttaa polynomin arvon aneetussa kohdassa.\\
$polyint$ palauttaa polynomin integraalin. \\
$simplify$ pyrkii yksinkertaistamaan annetun lausekkeen ja $Steps$ määrittelee, kuinka monta sykliä tätä ajetaan.
\item[Tehtävä:] 7. Integroi (a) $\int x^2+3x-2 dx$ (b) $\int sin(x)cos(x) dx$ (c) $\int e^{2x} dx$\\
(d) $\int xsin(x^2) dx$ (e) $\int xe^x dx$ (f) $\int \frac{5}{\sqrt{1+x^2}} dx$
\item[Vastaus:] (a) $\int x^2+3x-2 dx = \frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+2x+C$\\
(b) $\int sin(x)cos(x) dx = \int ucos(x) \frac{du}{-cos(x)} (sin(x)=u \Rightarrow \int u*(-x) du =\int sin(x)(-x) dx =\frac{sin^2(x)x}{2x}=\frac{sin^2(x)}{2}$\\
(c) $\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2}$\\ 
(d) $\int x*sin(x^2) dx = \frac{x*(-cos(x^2))}{2x}=\frac{-cos(x^2)}{2}$\\
(e)$\int xe^x dx = xe^x-e^x = e^x(x-1)$\\
(f) $\int \frac{5}{\sqrt{1+x^2}}dx = 5 asinh(x)$


\end{description}
\end{document}













