\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{tikz} % mahdollistaa kuvien piirtämisen latexilla tikz-ympäristössä
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{graphicx} % mahdollistaa kuvatiedostojen lisäämisen
\usepackage{pdfpages} % mahdollistaa pdf-tiedostojen lisäämisen
\usepackage{hyperref} % mahdollistaa linkkien lisäämisen

\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
 
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{flushright}
\item[FYS-1080 2015-02 Teemu Salminen 256544]
\end{flushright}
\begin{description}
\item[Tehtävä:] 1. Laske pakonopeus (a) Marsin pinnalta (b) Jupiterin pinnalta (c) Auringosta maan etäisyydellä (d) auringosta jupiterin etäisyydellä.
\item[Vastaus:] Pakonopeus: $v_e = \sqrt{\frac{2Gm_E}{R_E}}$. Jossa $m_E$ on planeetan massa ja $R_E$ planeetan säde. $G=6.67*10^{-11}N\frac{m^2}{kg^2}$\\
(a) $m_E=6.4185*10^{23}kg$ ja $R_E=3376.2km$ Sijoitus: $v_e =\sqrt{\frac{2*G*6.4185*10^{23}kg}{3376.2km}}=4943.5m/s\approx 5km/s$\\
(b) $m_E=1.899*10^{27}kg$ ja $R_E=71492km$ Sijoitus: $v_e = \sqrt{\frac{2*G*1.899*10^{27}kg}{71492km}} =59527m/s \approx60km/s $\\
Pakonopeus auringosta: $v_{ea} = \sqrt{\frac{2GM_s}{r}}$. Jossa $M_s$ on auringon massa ja $r$ on etäisyys auringosta. \\
(c) $M_s=1.9891*10^{30}kg$ ja $r=1.4960*10^8km$ Sijoitus: $v_{ea} = \sqrt{\frac{2*G*1.9891*10^{30}kg}{1.4960*10^8km}}=42115m/s \approx 42km/s$\\
(d) $M_s=1.9891*10^{30}kg$ ja $r=778412010km$ Sijoitus: $v_{ea} = \sqrt{\frac{2*G*1.9891*10^{30}kg}{778,41*10^6km}}=18463m/s\approx 18km/s$
\item[Tehtävä:] 2. Mustan aukon ympärillä kiertää kappaleita, joiden kiertoaika on $27h$ ja nopeus $30000km/s$. (a) Mikä on näiden kappaleiden etäisyys mustan aukon keskustasta? (b) Olettaen kappaleille ympyräradan, mikä on mustan aukon massa? (c) Mikä on tapahtumahorisontin säde?
\item[Vastaus:] (a) $27h=97200s$ Näin ollen ympyrän kaaren pituus on $30000km/s*97200s=2.916*10^9 km$ Ympyrän kaari $p=2\pi r \Rightarrow r= p/(2\pi)=2.916*10^9/(2*\pi)=4.641*10^8km$\\
(b) $v=\sqrt{\frac{Gm_E}{r}} \Rightarrow v^2=\frac{Gm_E}{r} \Rightarrow \frac{v^2r}{G} =m_e=\frac{(30000km/s)^2*4.641*10^8km}{G}=\\6.2622*10^{27}kg$\\
(c) $R_S=\frac{2GM}{c^2}=\frac{2*G*6.2622*10^{27}kg}{(2.99*10^3km/s)^2}=9.2949*10^6km$
\item[Tehtävä:] 3. $0.400kg$-massainen pallo vetää puoleensa $0.00300kg$-massaista palloa $8.00*10^{-10}N$ voimalla etäisyydeltä $0.0100m$. Maan gravitaatiokiihtyvyys on $9.80m/s^2$ ja säde $6380km$. Laske näistä tiedoista maan massa. 
\item[Vastaus:] $F_1=F_2=G\frac{m_1*m_2}{r^2} \Rightarrow G=F_1\frac{r^2}{m_1*m_2}=8.00*10^{-10}*\frac{(0.0100m)^2}{0.400kg*0.00300kg}=6.667*10^{-11} \Rightarrow GM=gr^2 \Rightarrow M=\frac{gr^2}{G}=\frac{9.80m/s^2*(6380000m)^2}{6.667*10^{-11}}=5.9832*10^{24}kg$
\newpage
\item[Tehtävä:] 4. Satelliitti kiertää maata päiväntasaajan tasossa. Sen kiertorata on sellaisella korkeudella, että se pysyy täsmälleen saman pisteen yläpuolella. (a) Mikä on satelliitin korkeus maan pinnasta? (b) Näytä piirroksella, miksei satelliitti voi lähettää radiosignaalia leveyspiirin $81.3^{\circ}$ pohjoispuolelle?
\item[Vastaus:] (a) $F_c=F_g\Leftrightarrow m_{sat}*a_g=m_{sat}*a_c$ Jossa $|a_g|=\frac{M_EG}{r^2}$ ja $|a_c|=\omega^2r$\\
Saadaan $r^3=\frac{M_EG}{\omega^2} \Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{M_EG}{\omega^2} }=\sqrt[3]{\frac{5.9737*10^{24}kg*G}{(\frac{2\pi}{86164})^2}}=42164km$ Eli maan pinnalta $35786km$\\
(b) Maan kaarevuus tulee eteen.
\item[Tehtävä:] 5. Ideaalisessa jousessa on pieni palikka, joka tekee jousen päässä harmoonista värähdysliikettä. liikkeen amplitudi on $0.250m$ ja värähdysjakso $3.20s$ Mikä on palikan vauhti ja kiihtyvyys  kun $x=0.160m$?
\item[Vastaus:] $\omega = 2\pi /T = 2\pi / 3.20s =1.9635rad/s$ ja $a=-\omega^2x \Rightarrow -1.9635^2*0.160m=-0.6169m/s^2\approx -0.6m/s^2$ \\
$v= \omega*\sqrt{A^2-x^2} = 1.9635*\sqrt{0.250^2-0.160^2}=0.3772m/s\approx 0.4m/s$
\item[Tehtävä:] 6. Istuin, jonka massa on $42.5kg$ kiinnitetään jouseen ja se värähtelee jaksolla $1.30s$. Astronautin istuessa tuolissa taajuus onkin $2.54s$ Mikä on astronautin massa?
\item[Vastaus:] $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \Rightarrow k=\frac{4\pi^2m}{T} =\frac{4\pi^2*42.5kg}{1.30s}=1290.6$ ja $\frac{T^2k}{4\pi^2}=m=\frac{(2.54s)^2*1290.6}{4\pi^2}=210.9177kg$ Eli astronautin massa on $210.9177kg-42.5kg=168.4177kg\approx 168kg$





\end{description}
\end{document}













