\documentclass[a4paper, finnish,  12pt]{article}
\usepackage[paperwidth=210mm, paperheight=297mm, top=20mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, marvosym} % matikkakomentoja
\usepackage[dvips]{graphicx}  
\usepackage{psfrag, pstricks}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{tikz} % mahdollistaa kuvien piirtämisen latexilla tikz-ympäristössä
\usepackage{tkz-euclide}
\usepackage{graphicx} % mahdollistaa kuvatiedostojen lisäämisen
\usepackage{pdfpages} % mahdollistaa pdf-tiedostojen lisäämisen
\usepackage{hyperref} % mahdollistaa linkkien lisäämisen

\newcommand{\eqnum}[2][noname]
{\begin{equation}\label{#1} \begin{split} #2 \end{split} \end{equation} }
% numeroimaton yhtalo
\newcommand{\eq}[2][noname]
{\begin{equation*}\begin{split} #2 \end{split} \end{equation*} }
\newcommand{\li}{\displaystyle \lim}
\DeclareMathOperator{\dx}{d} % Derivaatan d
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} % integraalin sijoitus -merkki
%vector and matrix styles etc
\newcommand{\vct}[1]{{\mathbf #1}}  % vector symbol
\newcommand{\mtx}[1]{{\mathrm #1}} % matrix symbol
\newcommand{\real}{{\mathbb R}}     % the set of real numbers
\newcommand{\integ}{{\mathbb Z}}   % the set of integers
\newcommand{\luon}{{\mathbb N}}    % the set of integers
\newcommand{\rati}{{\mathbb Q}}     % the set of integers
\newcommand{\kom}{{\mathbb C}}    % the set of integers
 
\newcommand{\abs}[1]{\lvert {#1} \rvert}   % absolute value
\newcommand{\norm}[1]{\lVert {#1} \rVert}  % vector norm

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{flushright}
\item[FYS-1080 2015-02 Teemu Salminen 256544]
\end{flushright}
\begin{description}
\item[Tehtävä:] 1. Jakoavain, $m=1.80kg$, kiinnitetään heilumaan $0.250m$:n etäisyydellä massakeskipisteestään. Pienillä kulmilla heilahdusjakso on $0.940s$.\\
(a) Mikä on jakoavaimen hitausmomentti tukipisteen suhteen?. (b) Jos jakoavain päästetään heilumaan alkupoikkeamasta $0.400rad$, millä kulmanopeudella se ohittaa tasapainoaseman?
\item[Vastaus:] (a)$T=2\pi\sqrt{\frac{J_A}{mr_Ag}} \Rightarrow J_A=\frac{T^2mr_Ag}{4\pi^2}\Rightarrow J_A=\frac{(0.940s)^2*1.80kg*0.250m*9.81m/s^2}{4*\pi^2}=0.0988kgm^2$\\
(b) $mgh=\frac{1}{2}J_A\omega^2 \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{2ghm}{J_A}}$ ja $h=0.250m-0.250m*cos(0.400rad) \Rightarrow $\\
$\omega = \sqrt{\frac{2*g*(0.250m-0.250m*cos(0.400rad))*1.80kg}{0.0988kgm^2}}=2.6560rad/s$
\item[Tehtävä:] 2. Ohut metallikiekko, $m=2.00*10^{-3}kg$ ja $r=2.20cm$ ripustetaan pitkän langan varaan. Kiekkoa kierretään ja päästetään vapaaksi, jolloin se alkaa värähdellä. Jos värähdyksen taajuus on 1.00s, mikä on langan torsiovakio?
\item[Vastaus:] $T=2*\pi*\sqrt{J/k} \Rightarrow k=\frac{4\pi^2J}{T^2}$ Ja $J=\frac{1}{2}mr^2=0.5*2.00*10^{-3}kg*(0.0220m)^2=4.8400{-7}kgm^2 \Rightarrow k=\frac{4*\pi^2*4.84*10^{-7}}{(1.0s)^2}=1.9108*10^{-5}kgm^2/s^2$
\item[Tehtävä:] 3. Ultraäänen taajuus on yli $20kHz$. Ultraääni etenee tyypillisesti kehossa nopeudella $v=1500m/s$. Aallonpituus ei saa olla suurempi kuin $1mm$. Milliaset taajuudet ovat käyttökelpoisia?
\item[Vastaus:]$\lambda = \frac{v}{f}$ Nopeus $v=1500m/s$ ja $f>20kHz$, $\lambda < 0.001m$ \\
$\Rightarrow 0.001m=\frac{1500m/s}{f_{min}} \Rightarrow f_{min}=\frac{1500m/s}{0.001m}=1500kHz$ V: $>1.5MHz$
\item[Tehtävä:] 4. Järven pinnan aaltoa kuvataan yhtälöllä $$y(x,t)=(3.75cm)cos(0.450cm^{-1}x+5.40s^{-1}t)$$ (a) Paljonko kuluu aikaa, että kokonainen aalto ohittaa pisteen $a$? Minkä matkan aallon huippu kulkee tässä ajassa? (b) Mikä on aallon aaltoluku, ja montako aaltoa sekunnissa kulkee pisteen $a$ ohi? (c) Mikä on aallon etenemisnopeus ja mikä on veden pinnan y-suunnan nopeus?
\item[Vastaus:] (a) Pisteessä $a$: $x=0$ joten kokonainen aalto kun $5.4s^{-1}t = 2\pi \Rightarrow t=\frac{2\pi}{5.4s^{-1}}=1.1636s$ Aalto kulkee yhden aallonpituuden: $t=0$ joten aallonpituus kun $0.450cm^{-1}x=2\pi$ ja $0.450cm^{-1}=45m^{-1} \Rightarrow x=\frac{2\pi}{0.450cm^{-1}}=0.1396m\approx 0.140m$\\
(b) aaltoluku: $k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2*\pi}{0.1396m} = 45m^{-1}$ aaltoa sekunnissa: $\frac{1s}{1.1636s} = 0.8594\approx 0.86kpl$\\
(c) $v=\frac{\lambda}{t} = \frac{0.1396m}{1.1636s}=0.12m/s$ pystysuuntanopeus: $v_{max} = \omega*A=5.4s^{-1}*0.0375m =0.203m/s$
\newpage
\item[Tehtävä:] 5. Vaakasuoraan köyteen on kiinnitetty sähköisesti toimiva äänirauta, joka väräyttelee köyttä taajuudella $120Hz$. Köyden toinen pää kulkee rullan yli, ja se npäässä roikkuu kuorma, $m=1.50kg$. Köyden massa on $0.0550kg/m$. (a) Mikä on köydessä kulkevan poikittaisen aallon etenemisnopeus? (b) Mikä on aallonpituus? (c) Mitkä vastaukset olisivat, jos kuorman massa olisi $m=3.00kg$?
\item[Vastaus:] (a) $v= \sqrt{\frac{F}{\mu}}$ jossa $F=mg$ ja $\mu=0.0550kg/m \Rightarrow v=\sqrt{\frac{1.50kg*9.81m/s^2}{0.0550kg/m}}=16.3568m/s\approx 16.4m/s$\\
(b) $v=f\lambda \Rightarrow \lambda=\frac{v}{f}=\frac{16.3568m/s}{120s^{-1}}=0.1363m\approx 0.136m$\\
(c) $v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}$ jos $F_2 = 2F_1$, nopeus kasvaa $\sqrt{2}$ kertoimella. Aallonpituus on suoraan verrannollinen nopeuteen, joten sekin kasvaa $\sqrt{2}$ kertoimella.
\item[Tehtävä:] 6. Vahvan langan pituus on $l=1.50m$ ja paino $1.25N$. Se on kiinnitetty kattoon ja toisessa päässä roikkuu kuorma massaltaan $w$. Lankaa näppäillessä siinä alkaa edetä aalto: $$y(x,t)=(8.50mm)cos((172m^{-1})x-(2730s^{-1})t)$$ (a) Paljonko aallolta kuluu aikaa edetä koko langan pituus? (b) Kuinka suuri massa $w$ on? (c) Montako aallonpituutta lankaan mahtuu? (d) Miltä näyttää lankaa alaspäin kulkevan aallon yhtälö?
\item[Vastaus:] (a) $t=l/v$, $l=1.50m$ ja $v=\omega/k=\frac{1}{2730s}/\frac{1}{172m}=0.063m/s$ eli $t=\frac{1.50m}{0.063m/s}=23.8081s$\\
(b) $v=\sqrt{T/\mu}=\sqrt{w\frac{l}{m}}\Rightarrow w=\frac{mv^2}{l}=\frac{(1.25N/9.81m/s^2)*(0.063m/s)^2}{1.50m}=3.3716*10^{-4}N$. \\
(c) $k=172m^{-1} \Rightarrow k=\frac{2\pi}{\lambda} \Rightarrow \lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{172m^{-1}}=0.0365m\Rightarrow 1.50m/0.0365m=41.062\approx 41.1kpl$\\
(d) $y(x,t)=(8.50mm)cos((172m^{-1})x-(2730s^{-1})t)$


\end{description}
\end{document}













